在本题中，你必须写出所有推导步骤。 不接受完全依赖计算器技术的解法。

(i) 在 $0<\theta<\pi$ 的范围内解方程

答案用弧度表示，保留 3 位有效数字。

(ii) 在 $0<x<180^\circ$ 的范围内解方程

答案用角度表示，精确到小数点后 1 位。

先用 $\cosec\theta=\dfrac1{\sin\theta}$，再利用 $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$，把方程化成 $\sin2\theta=\dfrac34$。解题时要把原范围同步变成 $0<2\theta<2\pi$，才能完整找出所有解。

Using $\cosec\theta=\dfrac1{\sin\theta}$,

Since $0<\theta<\pi$, $\sin\theta\neq0$. Hence

so

As $0<2\theta<2\pi$,

Therefore,

To three significant figures,

也可以把原方程平方，再令 $s=\sin^2\theta$ 解二次方程。平方会引入原方程不接受的解，因此最后必须代回符号条件：在 $0<\theta<\pi$ 中，左边为正，所以必须有 $\cos\theta>0$。

Squaring the equation gives

Using $\cosec^2\theta=\dfrac1{\sin^2\theta}$ and $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$,

Let $s=\sin^2\theta$. Then

Thus

Since the original equation has a positive left-hand side, $\cos\theta$ must be positive. In the given range, this requires $0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$. Hence

Therefore,

to three significant figures.

分式正好符合正切差角公式，把它识别成 $\tan(2x-70^\circ)$。然后写出正切函数的 $180^\circ$ 周期通解，并用 $0<x<180^\circ$ 筛选。

Using

the equation becomes

Therefore,

Hence

The values in $0<x<180^\circ$ occur when $n=0$ and $n=1$, giving

也可以先交叉相乘，把 $\tan2x$ 单独移到一边。这样得到 $\tan2x$ 的数值后，再利用正切的周期求出范围内的两个解。

Let $T=\tan70^\circ$. Cross-multiplying,

Therefore,

Thus

Using $0<2x<360^\circ$ gives

还可以使用 $\tan2x=\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2x}$。令 $t=\tan x$ 后，原方程会化成关于 $t$ 的二次方程；两个根分别对应指定范围内的两个角。

Let

From the cross-multiplication above,

Using $\tan2x=\dfrac{2t}{1-t^2}$,

Hence

Solving this quadratic gives

Therefore, for $0<x<180^\circ$,