图 1 给出了曲线 $C$ 的一部分草图，曲线方程为 $y=\mathrm{f}(x)$，其中

曲线在点 $P$ 处与 $x$ 轴相交。

(a) 写出 $P$ 的 $x$ 坐标。

图 1 中所示的点 $Q$ 是曲线 $C$ 上的驻点。

(b) 使用微积分求 $Q$ 的精确坐标。

(c) 由此求函数 $\mathrm{g}(x)$ 的值域，其中

曲线与 $x$ 轴相交时 $f(x)=0$。由于定义域为 $x>0$，所以 $\sqrt{x}$ 不可能为零，只需令对数因子等于零。

At the $x$-axis, $f(x)=0$. Since $x>0$,

Therefore,

so the $x$ coordinate of $P$ is

对 $6\sqrt{x}\ln(4x)$ 使用乘积法则求导，再令导数为零。解出驻点的 $x$ 坐标后代回原函数，并把指数和系数化到最简。

Using the product rule,

At the stationary point, $f'(x)=0$. Since $x>0$, multiply by $\sqrt{x}$:

Hence

so

Substituting this into $f(x)$,

Therefore,

由上一问及题图可知，$f$ 的最小值为 $-\dfrac6{\mathrm{e}}$。变换 $g(x)=-2f(x)$ 会把图像关于 $x$ 轴翻折并纵向放大 2 倍，因此原来的最小值变成 $g$ 的最大值。

From part (b), the minimum value of $f$ is

Since $g(x)=-2f(x)$, its maximum value is

Also, $f(x)\to\infty$ as $x\to\infty$, so $g(x)$ is unbounded below. Therefore, the range is