方程 $\mathrm{f}(x)=0$ 有一个唯一根 $\alpha$。

(a) 证明 $\alpha$ 位于区间 $[1,2]$ 内。

(b) 证明方程 $\mathrm{f}(x)=0$ 可写成

其中 $k$ 是一个需要求出的常数。

(c) 使用迭代公式

其中 $x_1=1$，并使用 (b) 中求得的 $k$ 值，求以下结果，精确到小数点后 4 位：

(i) $x_3$ 的值

(ii) $\alpha$ 的值。

分别计算区间两端的函数值。由于 $\mathrm{f}$ 是多项式，所以在 $[1,2]$ 上连续；若两个端点的函数值异号，便可由介值定理说明区间内有根。

At the endpoints of the interval,

and

Since $\mathrm{f}$ is continuous and

there is a change of sign in $[1,2]$. Hence

从 $\mathrm{f}(x)=0$ 出发，把含 $x$ 的两项提取公因式 $x^2$，再把 $x^2$ 单独留在等号一边。由 (a) 可知所求根为正数，所以开平方时取正根，并与题目给出的形式比较得出 $k$。

From $\mathrm{f}(x)=0$,

Therefore,

Since the root $\alpha$ lies in $[1,2]$, it is positive. Hence

Comparing this with

gives

官方评分资料也接受逆向推导：先把题目要求的固定点形式平方并交叉相乘，得到一个三次方程；再与原方程比较系数，直接确定 $k$。

Starting with the required form,

squaring and cross-multiplying gives

Dividing the original equation by $2$ gives

The two equations are identical when

把 $k=6$ 和 $x_1=1$ 依次代入迭代公式，先求 $x_2$，再用 $x_2$ 求 $x_3$。计算过程中保留计算器的完整数值，只在最终答案按要求取四位小数。

Using $k=6$ and $x_1=1$,

Therefore,

Hence, to 4 decimal places,

继续使用同一个迭代公式，直到连续两次迭代所得数值取四位小数后相同。这样便能确认根 $\alpha$ 的四位小数值已经稳定。

Continuing the iteration gives

Both $x_{10}$ and $x_{11}$ round to $1.2934$ to 4 decimal places. Therefore,