题目
Problem
In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
Figure 1 shows a sketch of part of the curve C with equation y=g(x) where
g(x)=x2+13x3−5x2+7x−5
Given that
x2+13x3−5x2+7x−5≡Ax+B+x2+1Cx+D
(a) (i) find the values of the constants A, B and C
(ii) show that D=0
(4)
The finite region R, shown shaded in Figure 1, is bounded by C, the x-axis and the lines with equations x=2 and x=3
(b) Find the exact area of region R using algebraic integration.
Give the answer in the form α+lnβ where α and β are constants to be found.
(4)
题目中文翻译
在本题中，你必须写出所有推导步骤。
不接受依赖计算器技术的解法。
图 1 给出了曲线 C 的一部分草图，曲线方程为 y=g(x)，其中
g(x)=x2+13x3−5x2+7x−5
已知
x2+13x3−5x2+7x−5≡Ax+B+x2+1Cx+D
(a) (i) 求常数 A、B 和 C 的值
(ii) 证明 D=0
有限区域 R 如图 1 阴影部分所示，由 C、x 轴以及方程为 x=2 和 x=3 的直线围成。
(b) 使用代数积分求区域 R 的精确面积。
答案写成 α+lnβ 的形式，其中 α 和 β 是需要求出的常数。
解答
(a)(i)
解法一
思路
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把恒等式两边乘以 x2+1，展开右边后比较同次幂系数。这样可以直接求出 A、B、C，并为下一小题证明 D=0 保留常数项关系。
答题过程
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Multiplying by x2+1,
3x3−5x2+7x−5≡≡(Ax+B)(x2+1)+Cx+DAx3+Bx2+(A+C)x+B+D.
Comparing coefficients of x3 and x2,
A=3andB=−5.
Comparing coefficients of x,
A+C=7.
Therefore,
C=7−3=4.
Hence
A=3,B=−5,C=4.
(a)(ii)
解法一
思路
展开
继续比较常数项。左边常数项为 −5，右边为 B+D；代入上一小题的 B=−5，即可从恒等关系推出 D=0。
答题过程
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Comparing the constant terms,
B+D=−5.
Since B=−5,
−5+D=−5.
Therefore,
D=0.
(b)
解法一
思路
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由 (a) 得到 g(x)=3x−5+x2+14x。图中曲线在 2≤x≤3 位于 x 轴上方，因此面积就是该函数的定积分。对数项来自分母导数 2x，最后用对数定律写成题目指定的 α+lnβ。
答题过程
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From part (a),
g(x)=3x−5+x2+14x.
Therefore, the area of R is
Area======∫23(3x−5+x2+14x)dx[23x2−5x+2ln(x2+1)]23(−23+2ln10)−(−4+2ln5)25+2ln(510)25+2ln225+ln4.
Hence
Area=25+ln4.
