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P3 2025 May A Q4

A Level / Edexcel / P3

IAL 2025 May A Paper · Question 4

题目

Problem

In this question you must show all stages of your working. Solutions relying on calculator technology are not acceptable.

Figure 1 shows a sketch of part of the curve CC with equation y=g(x)y=\mathrm{g}(x) where

g(x)=3x3−5x2+7x−5x2+1\mathrm{g}(x)=\frac{3x^3-5x^2+7x-5}{x^2+1}

Given that

3x3−5x2+7x−5x2+1≡Ax+B+Cx+Dx2+1\frac{3x^3-5x^2+7x-5}{x^2+1}\equiv Ax+B+\frac{Cx+D}{x^2+1}

(a) (i) find the values of the constants AA, BB and CC

(ii) show that D=0D=0

(4)

The finite region RR, shown shaded in Figure 1, is bounded by CC, the xx-axis and the lines with equations x=2x=2 and x=3x=3

(b) Find the exact area of region RR using algebraic integration. Give the answer in the form α+ln⁡β\alpha+\ln\beta where α\alpha and β\beta are constants to be found.

(4)
题目中文翻译

在本题中，你必须写出所有推导步骤。 不接受依赖计算器技术的解法。

图 1 给出了曲线 CC 的一部分草图，曲线方程为 y=g(x)y=\mathrm{g}(x)，其中

g(x)=3x3−5x2+7x−5x2+1\mathrm{g}(x)=\frac{3x^3-5x^2+7x-5}{x^2+1}

已知

3x3−5x2+7x−5x2+1≡Ax+B+Cx+Dx2+1\frac{3x^3-5x^2+7x-5}{x^2+1}\equiv Ax+B+\frac{Cx+D}{x^2+1}

(a) (i) 求常数 AA、BB 和 CC 的值

(ii) 证明 D=0D=0

有限区域 RR 如图 1 阴影部分所示，由 CC、xx 轴以及方程为 x=2x=2 和 x=3x=3 的直线围成。

(b) 使用代数积分求区域 RR 的精确面积。 答案写成 α+ln⁡β\alpha+\ln\beta 的形式，其中 α\alpha 和 β\beta 是需要求出的常数。

解答

(a)(i)

解法一

思路

展开

把恒等式两边乘以 x2+1x^2+1，展开右边后比较同次幂系数。这样可以直接求出 AA、BB、CC，并为下一小题证明 D=0D=0 保留常数项关系。

答题过程

展开

Multiplying by x2+1x^2+1,

3x3−5x2+7x−5≡ (Ax+B)(x2+1)+Cx+D≡ Ax3+Bx2+(A+C)x +B+D.\begin{align*} 3x^3-5x^2+7x-5 \equiv&\,(Ax+B)(x^2+1)+Cx+D\\ \equiv&\,Ax^3+Bx^2+(A+C)x\\ &\,+B+D. \end{align*}

Comparing coefficients of x3x^3 and x2x^2,

A=3andB=−5.A=3 \quad\text{and}\quad B=-5.

Comparing coefficients of xx,

A+C=7.A+C=7.

Therefore,

C=7−3=4.C=7-3=4.

Hence

A=3,B=−5,C=4.\boxed{A=3,\qquad B=-5,\qquad C=4}.

(a)(ii)

解法一

思路

展开

继续比较常数项。左边常数项为 −5-5，右边为 B+DB+D；代入上一小题的 B=−5B=-5，即可从恒等关系推出 D=0D=0。

答题过程

展开

Comparing the constant terms,

B+D=−5.B+D=-5.

Since B=−5B=-5,

−5+D=−5.-5+D=-5.

Therefore,

D=0.\boxed{D=0}.

解法二

思路

展开

直接用 x2+1x^2+1 对分子作多项式长除法。商与余式会一次给出 AA、BB、CC、DD，并直接证明 D=0D=0。

答题过程

展开

Dividing 3x3−5x2+7x−53x^3-5x^2+7x-5 by x2+1x^2+1 gives

3x3−5x2+7x−5=(x2+1)(3x−5)+4x.3x^3-5x^2+7x-5 =(x^2+1)(3x-5)+4x.

Therefore,

3x3−5x2+7x−5x2+1=3x−5+4xx2+1.\frac{3x^3-5x^2+7x-5}{x^2+1} =3x-5+\frac{4x}{x^2+1}.

Comparing this with the given identity,

A=3,B=−5,C=4,D=0.\boxed{A=3,\qquad B=-5,\qquad C=4,\qquad D=0}.

(b)

解法一

思路

展开

由 (a) 得到 g(x)=3x−5+4xx2+1g(x)=3x-5+\dfrac{4x}{x^2+1}。图中曲线在 2≤x≤32\leq x\leq3 位于 xx 轴上方，因此面积就是该函数的定积分。对数项来自分母导数 2x2x，最后用对数定律写成题目指定的 α+ln⁡β\alpha+\ln\beta。

答题过程

展开

From part (a),

g(x)=3x−5+4xx2+1.g(x)=3x-5+\frac{4x}{x^2+1}.

Therefore, the area of RR is

Area= ∫23(3x−5+4xx2+1) dx= [32x2−5x+2ln⁡(x2+1)]23= (−32+2ln⁡10)−(−4+2ln⁡5)= 52+2ln⁡(105)= 52+2ln⁡2= 52+ln⁡4.\begin{align*} \text{Area} =&\,\int_2^3 \bigg(3x-5+\frac{4x}{x^2+1}\bigg) \,\mathrm{d}x\\ =&\,\bigg[ \frac32x^2-5x+2\ln(x^2+1) \bigg]_2^3\\ =&\,\bigg(-\frac32+2\ln10\bigg) -\big(-4+2\ln5\big)\\ =&\,\frac52+2\ln\bigg(\frac{10}{5}\bigg)\\ =&\,\frac52+2\ln2\\ =&\,\frac52+\ln4. \end{align*}

Hence

Area=52+ln⁡4.\boxed{\text{Area}=\frac52+\ln4}.