题目
Problem
Figure 2 shows a sketch of the curve with equation y=f(x) where
f(x)=(2x−3)3e4x−2
(a) Show that
f′(x)=2(Px+Q)(2x−3)ne4x−2
where P, Q and n are constants to be found.
(4)
(b) Hence find
(i) the x coordinates of the stationary points on the curve with equation y=f(x),
(ii) the range of the function g defined by
g(x)=8(2x−3)3e4x−2x≤23
(Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.)
(4)
题目中文翻译
图 2 给出了曲线 y=f(x) 的草图，其中
f(x)=(2x−3)3e4x−2
(a) 证明
f′(x)=2(Px+Q)(2x−3)ne4x−2
其中 P、Q 和 n 是需要求出的常数。
(b) 由此求
(i) 曲线 y=f(x) 上驻点的 x 坐标，
(ii) 函数 g 的值域，其中
g(x)=8(2x−3)3e4x−2x≤23
（不接受完全依赖计算器技术的解法。）
解答
(a)
解法一
思路
展开
把 (2x−3)3 与 e4x−2 看成两个因子，使用乘积法则和链式法则。然后提取共同因子 (2x−3)2e4x−2，整理成题目指定形式。
答题过程
展开
Using the product rule,
f′(x)===6(2x−3)2e4x−2+4(2x−3)3e4x−22(2x−3)2e4x−2(3+2(2x−3))2(4x−3)(2x−3)2e4x−2.
Therefore,
P=4,Q=−3,n=2.
(b)(i)
解法一
思路
展开
承接 (a) 的因式分解结果。指数因子始终为正，因此导数为零只能来自两个代数因子 4x−3 或 (2x−3)2。
答题过程
展开
At a stationary point, f′(x)=0. From part (a),
2(4x−3)(2x−3)2e4x−2=0.
Since e4x−2>0,
4x−3=0or2x−3=0.
Hence the x coordinates are
x=43, 23.
(b)(ii)
解法一
思路
展开
g(x)=8f(x)，所以驻点横坐标不变。在限制 x≤23 下，x=43 给出最小值，而右端点 x=23 给出最大值 0；还需注意当 x→−∞ 时函数从下方趋近 0，不会产生更大的值。
答题过程
展开
At x=43,
g(43)===8(2⋅43−3)3e4(3/4)−28(−23)3e−27e.
At the endpoint x=23,
g(23)=0.
Also, g(x)<0 for x<23, and g(x)→0 from below as x→−∞. Therefore, the range is
−27e≤g(x)≤0.
