题目

Problem

The amount of an antibiotic, $x$ milligrams, in the bloodstream of a horse, $t$ hours after the antibiotic had been administered, is given by the formula

x=De^{-0.2t}

where $D$ milligrams is the dose of the antibiotic given to the horse.

A dose of $30$ mg of the antibiotic is given to the horse.

(a) Find the amount of the antibiotic in the bloodstream of the horse 8 hours after the dose is given. Give your answer in mg to 2 decimal places.

(2)

A second dose of $20$ mg is given to the horse 8 hours after the first dose.

(b) Show that the amount of the antibiotic in the bloodstream of the horse, 2 hours after the second dose is given, is $17.5$ mg to one decimal place.

(1)

No more doses of the antibiotic are given. At time $T$ hours after the second dose is given, the amount of the antibiotic in the bloodstream is $10$ mg.

(Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.)

(4)

题目中文翻译

给马注射抗生素后，经过 $t$ 小时，其血液中抗生素的含量为 $x$ 毫克，由下式给出：

x=De^{-0.2t}

其中 $D$ 毫克是给马注射的抗生素剂量。

给马注射了一剂 $30$ mg 的抗生素。

(a) 求注射后 8 小时，马血液中抗生素的含量。答案以 mg 为单位，精确到小数点后 2 位。

第一次注射后 8 小时，给马注射第二剂 $20$ mg 的抗生素。

(b) 证明第二剂注射后 2 小时，马血液中抗生素的含量为 $17.5$ mg，精确到小数点后 1 位。

之后不再注射抗生素。第二剂注射后 $T$ 小时，血液中抗生素的含量为 $10$ mg。

（不接受完全依赖计算器技术的解法。）

解答

(a)

解法一

思路

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第一剂的剂量为 $D=30$ ，经过时间为 $t=8$ 。直接代入指数衰减模型，并在最后四舍五入到小数点后两位。

答题过程

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Using $D=30$ and $t=8$ ,

\begin{align*} x=&\,30\mathrm{e}^{-0.2(8)}\\ =&\,30\mathrm{e}^{-1.6}\\ =&\,6.056895\ldots. \end{align*}

Therefore, the amount is

\boxed{6.06\text{ mg}}.

(b)

解法一

思路

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第二剂注射两小时后，第一剂已经经过 $8+2=10$ 小时，而第二剂只经过 2 小时。两剂剩余的含量分别计算后相加。

答题过程

展开

Two hours after the second dose, the first dose has been in the bloodstream for $10$ hours and the second dose for $2$ hours.

Hence the total amount is

\begin{align*} x=&\,30\mathrm{e}^{-0.2(10)} +20\mathrm{e}^{-0.2(2)}\\ =&\,30\mathrm{e}^{-2} +20\mathrm{e}^{-0.4}\\ =&\,17.466459\ldots\text{ mg}. \end{align*}

Therefore, to one decimal place,

\boxed{x=17.5\text{ mg}}.

(c)

解法一

思路

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以第二剂注射时刻为新的时间原点。经过 $T$ 小时后，第一剂共衰减了 $T+8$ 小时，第二剂衰减了 $T$ 小时。把两部分相加并令总量为 10，再提取共同的指数因子后取自然对数。

答题过程

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At $T$ hours after the second dose, the first dose has decayed for $T+8$ hours and the second dose for $T$ hours. Therefore,

30\mathrm{e}^{-0.2(T+8)} +20\mathrm{e}^{-0.2T}=10.

Factoring out $10\mathrm{e}^{-0.2T}$ ,

10\big(3\mathrm{e}^{-1.6}+2\big) \mathrm{e}^{-0.2T}=10.

Hence

\mathrm{e}^{-0.2T} =\frac{1}{3\mathrm{e}^{-1.6}+2}.

Taking natural logarithms,

-0.2T=-\ln\big(3\mathrm{e}^{-1.6}+2\big).

Thus

\begin{align*} T=&\,5\ln\big(3\mathrm{e}^{-1.6}+2\big)\\ =&\,4.788486\ldots. \end{align*}

Therefore,

\boxed{T=4.79\text{ hours}}.

解法二

思路

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也可以承接 (b)：在第二剂注射后 2 小时，两剂剩余药量已经合并为同一个总量，此后它们都按相同速率继续衰减。为保证最终精度，必须使用 (b) 中未四舍五入的 $17.466459\ldots$ 。

答题过程

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From part (b), the unrounded amount at $2$ hours after the second dose is

17.466459\ldots\text{ mg}.

From that time to time $T$ , a further $T-2$ hours have elapsed. Therefore,

17.466459\ldots\, \mathrm{e}^{-0.2(T-2)}=10.

Taking natural logarithms,

-0.2(T-2) =\ln\bigg(\frac{10}{17.466459\ldots}\bigg).

Hence

\begin{align*} T=&\,2-5\ln\bigg( \frac{10}{17.466459\ldots}\bigg)\\ =&\,4.788486\ldots. \end{align*}

Therefore,

\boxed{T=4.79\text{ hours}}.

IAL 2025 May A Q9

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程