求

(i) (a)

(b)

(ii) 已知

求常数 $a$ 的精确值。

（不接受依赖计算器技术的解法。）

这是线性函数幂的积分。把指数增加 $1$ 后，还要除以新指数 $13$ 以及括号内线性函数的导数 $2$。

Using the reverse chain rule,

分母 $4x^2+1$ 的导数是 $8x$，与分子 $5x$ 只差常数倍，因此使用 $\int\dfrac{u'}u\,\mathrm{d}x=\ln|u|+c$。这里分母恒为正，所以不需要绝对值。

Since

we have

先把被积函数拆成 $1+\dfrac1t$，再求原函数并代入上下限。由于 $a>0$，$\ln a$ 与 $\ln(2a)$ 都有定义；最后用对数定律解出 $a$ 的精确值。

First,

Since $a>0$,

Therefore,

Hence the exact value is