图 1。

图 2。

图 1 给出了函数 $y = f(x)$ 的一部分图像，其中

图 2 给出了函数 $y = g(x)$ 的一部分图像，其中

(a) 求 $fg(1)$ 的值。

(b) 写出 $g$ 的值域。

(c) 求 $g^{-1}$。

(d) 已知方程 $f(x) = k$（$k$ 为常数）恰有两个实根，求 $k$ 的取值范围。

$fg(1)$ 表示 $\mathrm{f}(\mathrm{g}(1))$。先把 $1$ 代入 $\mathrm{g}$，再把所得结果代入 $\mathrm{f}$，并注意 $\mathrm{f}$ 中有绝对值。

First,

Therefore,

Hence

把 $\mathrm{g}(x)$ 改写成“水平渐近线加正分式”的形式。由于 $x\geq0$，函数在 $x=0$ 时取到上端值 $3$；当 $x$ 增大时，正分式趋近于 $0$ 但不会等于 $0$，因此下端值 $\dfrac12$ 不包含在值域内。

Rewrite $\mathrm{g}(x)$ as

For $x\geq0$, the second term is positive and decreases towards $0$ as $x$ increases. Also,

Therefore, the range of $\mathrm{g}$ is

先令 $y=\mathrm{g}(x)$，交叉相乘并把所有含 $x$ 的项收集到一边，从而把 $x$ 表示成 $y$ 的函数。最后交换变量名称，并把 (b) 的值域写成反函数的定义域。

Let

Then

Interchanging $x$ and $y$ gives

The domain of $\mathrm{g}^{-1}$ is the range of $\mathrm{g}$ found in part (b). Hence

$\mathrm{f}(x)=2|3-x|+5$ 是顶点为 $(3,5)$ 的 V 形图像，但定义域限制为 $x\geq0$。要让水平直线 $y=k$ 与图像恰有两个交点，$k$ 必须高于顶点的纵坐标，同时不能高于左端点 $x=0$ 对应的纵坐标。

The minimum value occurs at $x=3$:

At the left endpoint of the domain,

For two roots, the horizontal line $y=k$ must lie above the vertex, so $k>5$. It may pass through the endpoint $x=0$, so $k=11$ is included; if $k>11$, the left intersection has $x<0$ and is outside the domain.

Therefore,