题目

Problem

In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

(a) Express $10\cos\theta - 3\sin\theta$ in the form $R\cos(\theta + \alpha)$ , where $R > 0$ and $0 < \alpha < 90^\circ$

Give the exact value of $R$ and the value of $\alpha$ to 2 decimal places.

(3)

Alana models the height above the ground of a passenger on a Ferris wheel by the equation

H = 12 - 10\cos(30t^\circ) + 3\sin(30t^\circ)

where the height of the passenger above the ground is $H$ metres at time $t$ minutes after the wheel starts turning.

Use part (a) and the equation of the model to answer parts (b), (c) and (d).

(b) Calculate

(i) the maximum value of $H$

(ii) the value of $t$ when this maximum first occurs. Give each answer to 2 decimal places.

(3)

(c) Calculate the value of $t$ when the passenger is 18 m above the ground for the first time. Give your answer to 2 decimal places.

(4)

(d) Determine the time taken for the Ferris wheel to complete two revolutions.

(2)

题目中文翻译

在本题中，你必须写出所有推导步骤。不接受完全依赖计算器技术的解法。

(a) 将 $10\cos\theta - 3\sin\theta$ 表示成 $R\cos(\theta + \alpha)$ 的形式，其中 $R > 0$ 且 $0 < \alpha < 90^\circ$ 。

求 $R$ 的精确值，以及 $\alpha$ 的值，精确到小数点后 2 位。

Alana 用下式表示摩天轮上乘客离地面的高度：

H = 12 - 10\cos(30t^\circ) + 3\sin(30t^\circ)

其中，乘客离地面的高度为 $H$ 米， $t$ 为摩天轮开始转动后经过的分钟数。

利用 (a) 和模型方程回答 (b)、(c) 和 (d)。

(b) 计算

(i) $H$ 的最大值

(ii) 该最大值首次出现时的 $t$ 值。

两个答案都保留到小数点后 2 位。

(d) 求摩天轮完成两圈所需的时间。

解答

(a)

解法一

思路

展开

展开 $R\cos(\theta+\alpha)$ ，再分别比较 $\cos\theta$ 和 $\sin\theta$ 的系数。由平方和可求 $R$ ，由系数之比可求 $\alpha$ 。

答题过程

展开

Using the addition formula,

\begin{align*} R\cos(\theta+\alpha) =&\,R\cos\theta\cos\alpha\\ &\,-R\sin\theta\sin\alpha. \end{align*}

Comparing coefficients with $10\cos\theta-3\sin\theta$ gives

R\cos\alpha=10 \quad\text{and}\quad R\sin\alpha=3.

Therefore,

\begin{align*} R^2 =&\,(R\cos\alpha)^2+(R\sin\alpha)^2\\ =&\,10^2+3^2\\ =&\,109. \end{align*}

Since $R>0$ ,

R=\sqrt{109}.

Also,

\begin{align*} \tan\alpha =&\,\frac{R\sin\alpha}{R\cos\alpha}\\ =&\,\frac{3}{10}, \end{align*}

\alpha=\tan^{-1}\bigg(\frac{3}{10}\bigg) =16.699\ldots^\circ.

Hence

\boxed{10\cos\theta-3\sin\theta =\sqrt{109}\cos(\theta+16.70^\circ)}.

(b)(i)

解法一

思路

展开

利用 (a) 把模型写成单一余弦函数。由于前面有负号，当余弦值为 $-1$ 时， $H$ 取得最大值。

答题过程

展开

From part (a), the model can be written as

H=12-\sqrt{109} \cos(30t^\circ+16.70^\circ).

Since the minimum value of cosine is $-1$ ,

\begin{align*} H_{\max} =&\,12-\sqrt{109}(-1)\\ =&\,12+\sqrt{109}\\ =&\,22.440\ldots \end{align*}

Therefore,

\boxed{H_{\max}=22.44\text{ m}}.

(b)(ii)

解法一

思路

展开

最大高度首次出现时，余弦的角度第一次达到 $180^\circ$ 。把 $30t+16.70$ 设为 $180$ ，即可求出对应时间。

答题过程

展开

The maximum first occurs when

\cos(30t^\circ+16.70^\circ)=-1.

Hence

\begin{align*} 30t+16.70=&\,180\\ t=&\,\frac{180-16.70}{30}\\ =&\,5.443\ldots \end{align*}

Therefore,

\boxed{t=5.44\text{ minutes}}.

(c)

解法一

思路

展开

令 $H=18$ ，用 (a) 得到的单一余弦形式建立方程。由于角度从 $16.70^\circ$ 开始增加，第一次到达该高度对应反余弦给出的第二象限主值。

答题过程

展开

When $H=18$ ,

18=12-\sqrt{109} \cos(30t^\circ+16.70^\circ).

Therefore,

\cos(30t^\circ+16.70^\circ) =-\frac{6}{\sqrt{109}}.

For the first occurrence,

\begin{align*} 30t+16.70 =&\,\cos^{-1}\bigg(-\frac{6}{\sqrt{109}}\bigg)\\ =&\,125.078\ldots \end{align*}

Thus

\begin{align*} t =&\,\frac{125.078\ldots-16.70}{30}\\ =&\,3.6126\ldots \end{align*}

Hence, to 2 decimal places,

\boxed{t=3.61\text{ minutes}}.

(d)

解法一

思路

展开

模型中的角度以每分钟 $30^\circ$ 增加。摩天轮转两圈对应角度增加 $720^\circ$ ，所以用总角度除以角速度。

答题过程

展开

Two complete revolutions correspond to

2(360^\circ)=720^\circ.

Therefore,

\begin{align*} 30t=&\,720\\ t=&\,24. \end{align*}

Hence the time taken is

\boxed{24\text{ minutes}}.

IAL 2025 Oct A Q8

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)(i)

解法一

思路

答题过程

(b)(ii)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程