已知

(a) 写出 $f$ 的值域；

(b) 求 $f^{-1}$；

(c) 求 $fg(x)$；

(d) 证明方程 $fg(x)=gf(x)$ 没有实数解。

利用定义域 $x>0$ 判断分母 $3x+5$ 的范围，再据此确定 $f(x)$ 的上下界是否能够取到。

For

we have $3x+5>5$, so $f(x)$ is positive and less than $\frac45$.

Also, as $x$ becomes very large, $f(x)$ gets closer to $0$ but never reaches $0$.

Therefore the range is

令 $y=f(x)$，把等式重新整理成 $x$ 关于 $y$ 的表达式，再交换变量。反函数的定义域等于原函数的值域。

Let

Rearrange to make $x$ the subject:

So

这里反函数的定义域就是原函数 $f$ 的值域。

$fg(x)$ 表示复合函数 $f(g(x))$。把 $g(x)=1/x$ 代入 $f$ 的自变量并化简即可。

Here $fg(x)$ means $f(g(x))$.

Since

we get

So

Equivalently,

先求 $gf(x)$，再令 $fg(x)=gf(x)$。化简后得到关于 $x$ 的二次方程，并用判别式证明它没有实根。

First find $gf(x)$:

If $fg(x)=gf(x)$, then

Since

we have

Cross-multiply:

Divide by $3$:

Its discriminant is

Since the discriminant is negative, this quadratic has no real roots.

Therefore the equation $fg(x)=gf(x)$ has no real solutions.