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IAL 2026 Jan A Q3

A Level / Edexcel / P3

IAL 2026 Jan A Paper · Question 3

题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying on calculator technology are not acceptable.

(i) (a) Divide (x2−3x+6)(x^2-3x+6) by (x+2)(x+2).

(2)

(b) Hence find

∫x2−3x+6x+2 dx\int \frac{x^2-3x+6}{x+2}\,\mathrm{d}x
(3)

(ii) Using algebraic integration, find the exact value of

∫0π/6(cos⁡θ−sin⁡θ)2 dθ\int_0^{\pi/6}(\cos\theta-\sin\theta)^2\,\mathrm{d}\theta
(5)
题目中文翻译

本题必须写出全部解题步骤。

不接受依赖计算器技术的解法。

(i) (a) 用 (x+2)(x+2) 去除 (x2−3x+6)(x^2-3x+6)。

(b) 由此求

∫x2−3x+6x+2 dx\int \frac{x^2-3x+6}{x+2}\,\mathrm{d}x

(ii) 利用代数积分法求

∫0π/6(cos⁡θ−sin⁡θ)2 dθ\int_0^{\pi/6}(\cos\theta-\sin\theta)^2\,\mathrm{d}\theta

的精确值。

解答

(i)(a)

解法一

思路

展开

对 x2−3x+6x^2-3x+6 除以 x+2x+2 做多项式长除法，依次确定一次项、常数项和余数。

答题过程

展开

Use polynomial division:

x+2x2−3x+6\begin{array}{r|r} x+2 & x^2-3x+6 \end{array}

First,

x2÷x=xx^2\div x=x

Then

x(x+2)=x2+2xx(x+2)=x^2+2x

Subtract:

x2−3x+6−(x2+2x)=−5x+6x^2-3x+6-(x^2+2x)=-5x+6

Next,

−5x÷x=−5-5x\div x=-5

Then

−5(x+2)=−5x−10-5(x+2)=-5x-10

Subtract:

−5x+6−(−5x−10)=16-5x+6-(-5x-10)=16

So

x2−3x+6x+2=x−5+16x+2\boxed{\frac{x^2-3x+6}{x+2}=x-5+\frac{16}{x+2}}

The quotient is x−5x-5 and the remainder is 1616.

(i)(b)

解法一

思路

展开

使用 (i)(a) 得到的商和余数把被积函数拆开，再逐项积分。由于这是不定积分，最后要写积分常数。

答题过程

展开

Using part (i)(a),

∫x2−3x+6x+2 dx= ∫(x−5+16x+2) dx= 12x2−5x+16ln⁡∣x+2∣+c\begin{align*} \int \frac{x^2-3x+6}{x+2}\,\mathrm{d}x =&\,\int\bigg(x-5+\frac{16}{x+2}\bigg)\,\mathrm{d}x \\[2mm] =&\,\frac12x^2-5x+16\ln|x+2|+c \end{align*}

Therefore

12x2−5x+16ln⁡∣x+2∣+c\boxed{\frac12x^2-5x+16\ln|x+2|+c}

(ii)

解法一

思路

展开

先展开平方，再利用 sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 和 2sin⁡θcos⁡θ=sin⁡2θ2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta 化简被积函数，然后进行定积分。

答题过程

展开

Expand the square first:

(cos⁡θ−sin⁡θ)2= cos⁡2θ−2sin⁡θcos⁡θ +sin⁡2θ= 1−2sin⁡θcos⁡θ= 1−sin⁡2θ\begin{align*} (\cos\theta-\sin\theta)^2 =&\,\cos^2\theta-2\sin\theta\cos\theta \\ &\,+\sin^2\theta \\[2mm] =&\,1-2\sin\theta\cos\theta \\[2mm] =&\,1-\sin 2\theta \end{align*}

Therefore

∫0π/6(cos⁡θ−sin⁡θ)2 dθ=∫0π/6(1−sin⁡2θ) dθ\int_0^{\pi/6}(\cos\theta-\sin\theta)^2\,\mathrm{d}\theta =\int_0^{\pi/6}(1-\sin2\theta)\,\mathrm{d}\theta

Integrate:

∫(1−sin⁡2θ) dθ=θ+12cos⁡2θ\int(1-\sin2\theta)\,\mathrm{d}\theta =\theta+\frac12\cos2\theta

So

∫0π/6(cos⁡θ−sin⁡θ)2 dθ= [θ+12cos⁡2θ]0π/6= (π6+12cos⁡π3) −(0+12cos⁡0)= (π6+14)−12= π6−14\begin{align*} \int_0^{\pi/6}(\cos\theta-\sin\theta)^2\,\mathrm{d}\theta =&\,\bigg[\theta+\frac12\cos2\theta\bigg]_0^{\pi/6} \\[2mm] =&\,\bigg(\frac{\pi}{6}+\frac12\cos\frac{\pi}{3}\bigg) \\ &\,-\bigg(0+\frac12\cos0\bigg) \\[2mm] =&\,\bigg(\frac{\pi}{6}+\frac14\bigg)-\frac12 \\[2mm] =&\,\frac{\pi}{6}-\frac14 \end{align*}

Hence the exact value is

π6−14\boxed{\frac{\pi}{6}-\frac14}