题目

Problem

Given that

y=8\tan(2x)\qquad -\frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{4}

show that

\frac{dx}{dy}=\frac{A}{B+y^2}

where $A$ and $B$ are integers to be found.

(4)

题目中文翻译

已知

y=8\tan(2x)\qquad -\frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{4}

证明

\frac{dx}{dy}=\frac{A}{B+y^2}

其中 $A$ 和 $B$ 为待求整数。

解答

展开

题目给出 $y$ 关于 $x$ 的表达式，但要求 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}$ 。所以先对 $x$ 求导得到 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ ，再取倒数。

最后要把答案写成只含 $y$ 的形式。由

y=8\tan(2x)

可得

\tan(2x)=\frac{y}{8}

再用 $\sec^2(2x)=1+\tan^2(2x)$ 。

展开

Differentiate $y=8\tan(2x)$ with respect to $x$ .

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,8\cdot 2\sec^2(2x) \\[2mm] =&\,16\sec^2(2x) \end{align*}

Therefore

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} =\frac{1}{16\sec^2(2x)}

Since

y=8\tan(2x)

we have

\tan(2x)=\frac{y}{8}

Using $\sec^2(2x)=1+\tan^2(2x)$ ,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} =&\,\frac{1}{16\left(1+\tan^2(2x)\right)} \\[2mm] =&\,\frac{1}{16\left(1+\left(\frac{y}{8}\right)^2\right)} \\[2mm] =&\,\frac{1}{16\left(\frac{64+y^2}{64}\right)} \\[2mm] =&\,\frac{4}{64+y^2} \end{align*}

\boxed{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{4}{64+y^2}}

Comparing with

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{A}{B+y^2}

we get

\boxed{A=4,\qquad B=64}

展开

先把 $y=8\tan(2x)$ 反解成 $x$ 关于 $y$ 的函数，再直接对 $y$ 求导。由于

-\frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{4}

所以 $-\frac{\pi}{2}<2x<\frac{\pi}{2}$ ，可以在这一区间内使用 $\arctan$ 作为 $\tan$ 的反函数。

展开

From

y=8\tan(2x),

we have

\tan(2x)=\frac{y}{8}.

Since $-\frac{\pi}{2}<2x<\frac{\pi}{2}$ ,

2x=\arctan\bigg(\frac{y}{8}\bigg),

x=\frac12\arctan\bigg(\frac{y}{8}\bigg).

Differentiate with respect to $y$ :

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} =&\,\frac12\cdot \frac{1}{1+\big(\frac{y}{8}\big)^2}\cdot\frac18 \\[2mm] =&\,\frac{1}{16}\cdot \frac{1}{1+\frac{y^2}{64}} \\[2mm] =&\,\frac{4}{64+y^2}. \end{align*}

Therefore

\boxed{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{4}{64+y^2}},

\boxed{A=4,\qquad B=64}.