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IAL 2026 Jan A Q5

A Level / Edexcel / P3

IAL 2026 Jan A Paper · Question 5

题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

(a) Show that

cot⁡2x1+cot⁡2x≡cos⁡2x\frac{\cot^2 x}{1+\cot^2 x}\equiv \cos^2 x
(3)

(b) Hence solve, for 0≤x<360∘0\le x<360^\circ,

cot⁡2x1+cot⁡2x=8cos⁡2x+2cos⁡x\frac{\cot^2 x}{1+\cot^2 x}=8\cos 2x+2\cos x

Give each solution in degrees to one decimal place.

(5)
题目中文翻译

本题必须写出全部解题步骤。

不接受完全依赖计算器技术的解法。

(a) 证明

cot⁡2x1+cot⁡2x≡cos⁡2x\frac{\cot^2 x}{1+\cot^2 x}\equiv \cos^2 x

(b) 由此在 0≤x<360∘0\le x<360^\circ 内解方程

cot⁡2x1+cot⁡2x=8cos⁡2x+2cos⁡x\frac{\cot^2 x}{1+\cot^2 x}=8\cos 2x+2\cos x

每个解均用角度表示，并精确到小数点后 1 位。

解答

(a)

解法一

思路

展开

把 cot⁡x\cot x 全部改写成 cos⁡xsin⁡x\frac{\cos x}{\sin x}，并使用

sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2x+\cos^2x=1

即可把左边化成 cos⁡2x\cos^2x。

答题过程

展开

Starting from the left-hand side,

cot⁡2x1+cot⁡2x\frac{\cot^2x}{1+\cot^2x}

use

cot⁡x=cos⁡xsin⁡x\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}

Then

cot⁡2x1+cot⁡2x= cos⁡2xsin⁡2x1+cos⁡2xsin⁡2x= cos⁡2xsin⁡2xsin⁡2x+cos⁡2xsin⁡2x= cos⁡2xsin⁡2x+cos⁡2x= cos⁡2x\begin{align*} \frac{\cot^2x}{1+\cot^2x} =&\,\frac{\dfrac{\cos^2x}{\sin^2x}} {1+\dfrac{\cos^2x}{\sin^2x}} \\[5mm] =&\,\frac{\dfrac{\cos^2x}{\sin^2x}} {\dfrac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2x}} \\[5mm] =&\,\frac{\cos^2x}{\sin^2x+\cos^2x} \\[2mm] =&\,\cos^2x \end{align*}

Therefore

cot⁡2x1+cot⁡2x≡cos⁡2x\boxed{\frac{\cot^2x}{1+\cot^2x}\equiv\cos^2x}

解法二

思路

展开

使用 1+cot⁡2x=csc⁡2x1+\cot^2x=\csc^2x，再把 cot⁡x\cot x 与 csc⁡x\csc x 都写成正弦、余弦的比值，公共的 sin⁡2x\sin^2x 因子便会约去。

答题过程

展开

Using

1+cot⁡2x=csc⁡2x,1+\cot^2x=\csc^2x,

we get

cot⁡2x1+cot⁡2x= cot⁡2xcsc⁡2x= cos⁡2xsin⁡2x1sin⁡2x= cos⁡2x.\begin{align*} \frac{\cot^2x}{1+\cot^2x} =&\,\frac{\cot^2x}{\csc^2x} \\[2mm] =&\,\frac{\dfrac{\cos^2x}{\sin^2x}} {\dfrac{1}{\sin^2x}} \\[5mm] =&\,\cos^2x. \end{align*}

Therefore

cot⁡2x1+cot⁡2x≡cos⁡2x.\boxed{\frac{\cot^2x}{1+\cot^2x}\equiv\cos^2x}.

解法三

思路

展开

不直接化简原分式，而是证明交叉相乘后的恒等式

cos⁡2x(1+cot⁡2x)≡cot⁡2x.\cos^2x\big(1+\cot^2x\big)\equiv\cot^2x.

这里使用 1+cot⁡2x=csc⁡2x1+\cot^2x=\csc^2x 即可迅速完成。

答题过程

展开

Consider the right-hand side multiplied by the denominator of the left-hand side:

cos⁡2x(1+cot⁡2x)= cos⁡2xcsc⁡2x= cos⁡2x⋅1sin⁡2x= cos⁡2xsin⁡2x= cot⁡2x.\begin{align*} \cos^2x\big(1+\cot^2x\big) =&\,\cos^2x\csc^2x \\[2mm] =&\,\cos^2x\cdot\frac{1}{\sin^2x} \\[2mm] =&\,\frac{\cos^2x}{\sin^2x} \\[2mm] =&\,\cot^2x. \end{align*}

Hence

cot⁡2x1+cot⁡2x≡cos⁡2x.\boxed{\frac{\cot^2x}{1+\cot^2x}\equiv\cos^2x}.

解法四

思路

展开

同样从交叉相乘后的式子出发，但不使用 csc⁡2x\csc^2x；把 cot⁡2x\cot^2x 写成 cos⁡2x/sin⁡2x\cos^2x/\sin^2x，再用 sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2x+\cos^2x=1。

答题过程

展开

Consider

cos⁡2x(1+cot⁡2x)= cos⁡2x(1+cos⁡2xsin⁡2x)= cos⁡2x(sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡2x)= cos⁡2xsin⁡2x= cot⁡2x.\begin{align*} \cos^2x\big(1+\cot^2x\big) =&\,\cos^2x\bigg(1+\frac{\cos^2x}{\sin^2x}\bigg) \\[2mm] =&\,\cos^2x\bigg( \frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2x} \bigg) \\[2mm] =&\,\frac{\cos^2x}{\sin^2x} \\[2mm] =&\,\cot^2x. \end{align*}

Therefore

cot⁡2x1+cot⁡2x≡cos⁡2x.\boxed{\frac{\cot^2x}{1+\cot^2x}\equiv\cos^2x}.

(b)

解法一

思路

展开

这是 Hence 题，要使用 (a)：

cot⁡2x1+cot⁡2x=cos⁡2x\frac{\cot^2x}{1+\cot^2x}=\cos^2x

原方程变成

cos⁡2x=8cos⁡2x+2cos⁡x\cos^2x=8\cos2x+2\cos x

然后用 cos⁡2x=2cos⁡2x−1\cos2x=2\cos^2x-1，把方程化成只含 cos⁡x\cos x 的二次方程。

答题过程

展开

Using part (a),

cot⁡2x1+cot⁡2x=cos⁡2x\frac{\cot^2x}{1+\cot^2x}=\cos^2x

So the equation becomes

cos⁡2x=8cos⁡2x+2cos⁡x\cos^2x=8\cos2x+2\cos x

Use

cos⁡2x=2cos⁡2x−1\cos2x=2\cos^2x-1

Then

cos⁡2x= 8(2cos⁡2x−1)+2cos⁡x= 16cos⁡2x−8+2cos⁡x\begin{align*} \cos^2x =&\,8(2\cos^2x-1)+2\cos x \\[2mm] =&\,16\cos^2x-8+2\cos x \end{align*}

Rearrange.

0= 15cos⁡2x+2cos⁡x−8\begin{align*} 0=&\,15\cos^2x+2\cos x-8 \end{align*}

Factorise.

15cos⁡2x+2cos⁡x−8= (3cos⁡x−2)(5cos⁡x+4)\begin{align*} 15\cos^2x+2\cos x-8 =&\,(3\cos x-2)(5\cos x+4) \end{align*}

Therefore

cos⁡x=23orcos⁡x=−45\cos x=\frac23 \qquad\text{or}\qquad \cos x=-\frac45

For 0≤x<360∘0\leq x<360^\circ,

cos⁡x=23\cos x=\frac23

gives

x=48.189…∘, 311.810…∘x=48.189\ldots^\circ,\ 311.810\ldots^\circ

and

cos⁡x=−45\cos x=-\frac45

gives

x=143.130…∘, 216.869…∘x=143.130\ldots^\circ,\ 216.869\ldots^\circ

Hence

x=48.2∘, 143.1∘, 216.9∘, 311.8∘\boxed{x=48.2^\circ,\ 143.1^\circ,\ 216.9^\circ,\ 311.8^\circ}

to one decimal place.