题目

Problem

The value of a particular car is modelled by the formula

V=18000e^{-0.2t}+4000e^{-0.1t}+1000\qquad t\ge 0

where the value of the car is $V$ pounds when the age of the car is $t$ years.

A sketch of $t$ against $V$ is shown in Figure 1.

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

(a) State the range of $V$ .

(2)

According to this model,

(b) find the rate at which the value of the car is decreasing when $t=10$ .

Give your answer in pounds per year.

(3)

(4)

题目中文翻译

某辆汽车的价值满足模型

V=18000e^{-0.2t}+4000e^{-0.1t}+1000\qquad t\ge 0

其中汽车车龄为 $t$ 年时，其价值为 $V$ 英镑。

图 1 给出了 $t$ 关于 $V$ 的草图。

本题必须写出全部解题步骤。

不接受完全依赖计算器技术的解法。

(a) 写出 $V$ 的值域。

(b) 根据该模型，求当 $t=10$ 时汽车价值减少的速率。

答案单位为英镑每年。

解答

(a)

解法一

思路

展开

当 $t=0$ 时，汽车价值最大。随着 $t$ 增大，两个指数项 $e^{-0.2t}$ 和 $e^{-0.1t}$ 都趋近于 $0$ ，所以 $V$ 会趋近于 $1000$ ，但不会等于 $1000$ 。

答题过程

展开

At $t=0$ ,

\begin{align*} V=&\,18000e^0+4000e^0+1000 \\[2mm] =&\,18000+4000+1000 \\[2mm] =&\,23000 \end{align*}

As $t\to\infty$ ,

e^{-0.2t}\to0 \qquad\text{and}\qquad e^{-0.1t}\to0

V\to1000

Since $t\geq0$ , the maximum value is included, but $V=1000$ is only approached and is not reached.

Therefore the range of $V$ is

\boxed{1000<V\leq23000}

(b)

解法一

思路

展开

先对 $V$ 关于 $t$ 求导，得到 $\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}$ ，再代入 $t=10$ 。由于题目问 value is decreasing 的速率，最后可以说明导数是负数，减少速率的大小是正数。

答题过程

展开

Differentiate $V$ with respect to $t$ .

\begin{align*} V=&\,18000e^{-0.2t}+4000e^{-0.1t}+1000 \\[2mm] \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} =&\,18000(-0.2)e^{-0.2t} +4000(-0.1)e^{-0.1t} \\[2mm] =&\,-3600e^{-0.2t}-400e^{-0.1t} \end{align*}

At $t=10$ ,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} =&\,-3600e^{-2}-400e^{-1} \\[2mm] =&\,-634.358\ldots \end{align*}

So the value is changing at approximately

-634

pounds per year.

Therefore the value of the car is decreasing at a rate of

\boxed{634\text{ pounds per year}}

(c)

解法一

思路

展开

令 $V=15000$ 。由于

e^{-0.2t}=\left(e^{-0.1t}\right)^2

可以设

u=e^{-0.1t}

把方程化成关于 $u$ 的二次方程。

答题过程

展开

When $V=15000$ ,

15000=18000e^{-0.2t}+4000e^{-0.1t}+1000

Rearrange.

14000=18000e^{-0.2t}+4000e^{-0.1t}

Divide by $2000$ .

7=9e^{-0.2t}+2e^{-0.1t}

Let

u=e^{-0.1t}

Then

e^{-0.2t}=u^2

7=9u^2+2u

Hence

\begin{align*} 9u^2+2u-7=&\,0 \\[2mm] (9u-7)(u+1)=&\,0 \end{align*}

Thus

u=\frac79 \qquad\text{or}\qquad u=-1

But $u=e^{-0.1t}>0$ , so

e^{-0.1t}=\frac79

Taking natural logarithms,

\begin{align*} -0.1t=&\,\ln\left(\frac79\right) \\[2mm] t=&\,-10\ln\left(\frac79\right) \\[2mm] =&\,10\ln\left(\frac97\right) \end{align*}

Therefore

\boxed{t=10\ln\left(\frac97\right)}

IAL 2026 Jan A Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程