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IAL 2026 Jan Q3

A Level / Edexcel / P3

IAL 2026 Jan Paper · Question 3

题目

Problem

(i) Find, in simplest form,

∫2(3x+5)7 dx\int 2(3x+5)^7\,dx
(2)

(ii)

f(x)=4x3+x2−7x+14(x−1)(x+2)x>1f(x)=\frac{4x^3+x^2-7x+14}{(x-1)(x+2)}\qquad x>1

(a) Write f(x)f(x) in the form

ax+b+cx−1ax+b+\frac{c}{x-1}

where a,b,ca,b,c are constants to be found.

(4)

(b) Hence, using algebraic integration, find

∫39f(x) dx\int_3^9 f(x)\,dx

writing the answer in simplest form.

(4)
题目中文翻译

(i) 求最简形式的

∫2(3x+5)7 dx\int 2(3x+5)^7\,dx

(ii)

f(x)=4x3+x2−7x+14(x−1)(x+2)x>1f(x)=\frac{4x^3+x^2-7x+14}{(x-1)(x+2)}\qquad x>1

(a) 将 f(x)f(x) 写成

ax+b+cx−1ax+b+\frac{c}{x-1}

的形式，其中 a,b,ca,b,c 为待求常数。

(b) 由此利用代数积分法求

∫39f(x) dx\int_3^9 f(x)\,dx

并将答案化为最简形式。

解答

(i)

解法一

思路

展开

这是反链式法则。因为

ddx(3x+5)=3\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(3x+5)=3

所以积分时要除以额外出现的系数。

答题过程

展开

Using reverse chain rule,

∫2(3x+5)7 dx= 2⋅(3x+5)88⋅3+c= (3x+5)812+c\begin{align*} \int 2(3x+5)^7\,\mathrm{d}x =&\,2\cdot\frac{(3x+5)^8}{8\cdot3}+c \\[2mm] =&\,\frac{(3x+5)^8}{12}+c \end{align*}

Therefore

∫2(3x+5)7 dx=(3x+5)812+c\boxed{\int 2(3x+5)^7\,\mathrm{d}x=\frac{(3x+5)^8}{12}+c}

(ii)(a)

解法一

思路

展开

分母为

(x−1)(x+2)=x2+x−2(x-1)(x+2)=x^2+x-2

所以先用三次多项式除以 x2+x−2x^2+x-2，得到一次商式和余式。然后把余式部分化成 cx−1\frac{c}{x-1} 的形式。

答题过程

展开

First note that

(x−1)(x+2)=x2+x−2(x-1)(x+2)=x^2+x-2

Divide 4x3+x2−7x+144x^3+x^2-7x+14 by x2+x−2x^2+x-2.

4x3+x2−7x+14= (4x−3)(x2+x−2)+(4x+8)\begin{align*} 4x^3+x^2-7x+14 =&\,(4x-3)(x^2+x-2)+(4x+8) \end{align*}

Therefore

f(x)= 4x−3+4x+8(x−1)(x+2)= 4x−3+4(x+2)(x−1)(x+2)= 4x−3+4x−1\begin{align*} f(x) =&\,4x-3+\frac{4x+8}{(x-1)(x+2)} \\[2mm] =&\,4x-3+\frac{4(x+2)}{(x-1)(x+2)} \\[2mm] =&\,4x-3+\frac{4}{x-1} \end{align*}

Thus

f(x)=4x−3+4x−1\boxed{f(x)=4x-3+\frac{4}{x-1}}

so

a=4,b=−3,c=4\boxed{a=4,\qquad b=-3,\qquad c=4}

(ii)(b)

解法一

思路

展开

由 (ii)(a)，先把 f(x)f(x) 改写成

4x−3+4x−14x-3+\frac{4}{x-1}

然后逐项积分。因为题目说 x>1x>1，所以在 3≤x≤93\leq x\leq9 上，x−1>0x-1>0，可以直接写 ln⁡(x−1)\ln(x-1)。

答题过程

展开

Using

f(x)=4x−3+4x−1f(x)=4x-3+\frac{4}{x-1}

we have

∫39f(x) dx= ∫39(4x−3+4x−1) dx= [2x2−3x+4ln⁡(x−1)]39\begin{align*} \int_3^9 f(x)\,\mathrm{d}x =&\,\int_3^9\left(4x-3+\frac{4}{x-1}\right)\,\mathrm{d}x \\[2mm] =&\,\left[2x^2-3x+4\ln(x-1)\right]_3^9 \end{align*}

Substitute the limits.

∫39f(x) dx= [2(9)2−3(9)+4ln⁡(8)] −[2(3)2−3(3)+4ln⁡(2)]= (162−27+4ln⁡8)−(18−9+4ln⁡2)= 126+4ln⁡8−4ln⁡2= 126+4ln⁡4= 126+8ln⁡2\begin{align*} \int_3^9 f(x)\,\mathrm{d}x =&\,\big[2(9)^2-3(9)+4\ln(8)\big] \\[2mm] &\,-\big[2(3)^2-3(3)+4\ln(2)\big] \\[2mm] =&\,(162-27+4\ln8)-(18-9+4\ln2) \\[2mm] =&\,126+4\ln8-4\ln2 \\[2mm] =&\,126+4\ln4 \\[2mm] =&\,126+8\ln2 \end{align*}

Therefore

∫39f(x) dx=126+8ln⁡2\boxed{\int_3^9 f(x)\,\mathrm{d}x=126+8\ln2}