题目

Problem

The function $f$ is defined by

f:x\mapsto\frac{2x+16}{x-4}\qquad x\ne 4

(a) Find $ff(x)$ , giving your answer as a single fraction in its simplest form.

(3)

(b) Find $f^{-1}(12)$ .

(2)

The function $g$ is defined by

g:x\mapsto \ln x\qquad x>0,\ x\ne e^4

fg(a)=g(a)

(3)

题目中文翻译

函数 $f$ 定义为

f:x\mapsto\frac{2x+16}{x-4}\qquad x\ne 4

(a) 求 $ff(x)$ ，并将答案写成最简单一分式；

(b) 求 $f^{-1}(12)$ ；

函数 $g$ 定义为

g:x\mapsto \ln x\qquad x>0,\ x\ne e^4

fg(a)=g(a)

的 $a$ 的精确值。

解答

(a)

解法一

思路

展开

$ff(x)$ 表示 $f(f(x))$ 。也就是把

f(x)=\frac{2x+16}{x-4}

整体代入 $f$ 的输入位置。

答题过程

展开

Since

f(x)=\frac{2x+16}{x-4}

we have

ff(x)=f\left(\frac{2x+16}{x-4}\right)

Therefore

\begin{align*} ff(x) =&\,\frac{2\left(\dfrac{2x+16}{x-4}\right)+16} {\left(\dfrac{2x+16}{x-4}\right)-4} \\[5mm] =&\,\frac{ \dfrac{2(2x+16)+16(x-4)}{x-4} }{ \dfrac{(2x+16)-4(x-4)}{x-4} } \\[5mm] =&\,\frac{2(2x+16)+16(x-4)} {(2x+16)-4(x-4)} \\[2mm] =&\,\frac{4x+32+16x-64}{2x+16-4x+16} \\[2mm] =&\,\frac{20x-32}{32-2x} \\[2mm] =&\,\frac{10x-16}{16-x} \end{align*}

Thus

\boxed{ff(x)=\frac{10x-16}{16-x}}

(b)

解法一

思路

展开

$f^{-1}(12)$ 的意思是：找一个 $x$ ，使得 $f(x)=12$ 。

答题过程

展开

Set

f(x)=12

Then

\begin{align*} \frac{2x+16}{x-4}=&\,12 \\[2mm] 2x+16=&\,12(x-4) \\[2mm] 2x+16=&\,12x-48 \\[2mm] 64=&\,10x \\[2mm] x=&\,6.4 \end{align*}

Therefore

\boxed{f^{-1}(12)=6.4}

(c)

解法一

思路

展开

$fg(a)$ 表示 $f(g(a))$ 。由于 $g(a)=\ln a$ ，所以题目方程变成

f(\ln a)=\ln a

然后设 $u=\ln a$ ，会得到一个关于 $u$ 的二次方程。

答题过程

展开

Since

g(a)=\ln a

the equation

fg(a)=g(a)

means

f(\ln a)=\ln a

Using the definition of $f$ ,

\frac{2\ln a+16}{\ln a-4}=\ln a

Multiply both sides by $\ln a-4$ .

\begin{align*} 2\ln a+16 =&\,(\ln a)(\ln a-4) \\[2mm] 2\ln a+16 =&\,(\ln a)^2-4\ln a \\[2mm] 0=&\,(\ln a)^2-6\ln a-16 \end{align*}

Factorise.

\begin{align*} (\ln a)^2-6\ln a-16 =&\,0 \\[2mm] (\ln a-8)(\ln a+2) =&\,0 \end{align*}

\ln a=8 \qquad\text{or}\qquad \ln a=-2

Therefore

\boxed{a=e^8,\ e^{-2}}

IAL 2026 Jan Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程