图 1 给出了曲线 $y=f(x)$ 的部分草图，其中

图像顶点为点 $P$。

(a) 写出点 $P$ 的坐标；

(b) 解方程 $f(x)=8$；

直线 $l$ 的方程为 $y=mx$，其中 $m$ 为常数。

若直线 $l$ 与图像 $y=f(x)$ 恰有一个交点，

(c) 求 $m$ 的可能取值；

图像 $y=f(x)$ 经过变换得到图像 $y=af(x-b)$，其中 $a,b$ 为常数。

若图像 $y=af(x-b)$ 的顶点为 $(5,16)$，

(d) 求 $a$ 与 $b$ 的值。

绝对值图像

的顶点出现在绝对值内部等于 $0$ 的位置，也就是 $3x-11=0$。此时函数值为 $-4$。

The vertex occurs when

So

At this value of $x$,

Therefore

解绝对值方程时，要把

拆成

两种情况。

We need to solve

So

Hence

For the first equation,

For the second equation,

Therefore

把绝对值图像分成左右两条直线：

直线 $y=mx$ 要与整个 V 形图像恰有一个交点。可能发生在三种情况：

• 只与右边分支相交；
• 只与左边分支相交；
• 正好经过顶点，此时两条分支的交点是同一个点。

For the right-hand branch,

Intersect with $y=mx$:

For this to lie on the right-hand branch,

This gives an intersection on the right-hand branch when

For the left-hand branch,

Intersect with $y=mx$:

This gives an intersection on the left-hand branch when

Now consider exactly one intersection with the whole graph.

If $m\geq3$, the line intersects only the left-hand branch, so this works.

If $m<-3$, the line intersects only the left-hand branch, so this also works.

If $m=-\dfrac{12}{11}$, the line passes through the vertex

so the two branch intersections coincide as one point.

Therefore the possible values of $m$ are

原图像 $y=f(x)$ 的顶点是

变换 $y=af(x-b)$ 中，$x-b$ 表示图像向右平移 $b$，所以顶点的 $x$ 坐标变成

而外面的 $a$ 会把 $y$ 坐标乘以 $a$。

The vertex of $y=f(x)$ is

For

the vertex becomes

We are given that this vertex is $(5,16)$. Therefore

and

Hence

Therefore