题目

Problem

A curve has equation

x=e^{2\tan y}\qquad -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}

Show that

\frac{dy}{dx}=\frac{a}{x\left(b+(\ln x)^n\right)}

where $a$ , $b$ and $n$ are integers to be found.

(4)

题目中文翻译

一条曲线的方程为

x=e^{2\tan y}\qquad -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}

证明

\frac{dy}{dx}=\frac{a}{x\left(b+(\ln x)^n\right)}

其中 $a,b,n$ 为待求整数。

解答

展开

题目给的是 $x$ 关于 $y$ 的表达式，所以先求 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}$ ，再取倒数得到 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 。

关键是把最后的答案完全写成 $x$ 的函数。由

x=e^{2\tan y}

可得

\ln x=2\tan y

因此

\tan y=\frac{\ln x}{2}

再用恒等式 $\sec^2y=1+\tan^2y$ 即可。

展开

Differentiate $x=e^{2\tan y}$ with respect to $y$ .

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} =&\, e^{2\tan y}\cdot 2\sec^2y \\[4mm] =&\, 2x\sec^2y \end{align*}

Since

x=e^{2\tan y}

taking natural logarithms gives

\begin{align*} \ln x=&\,2\tan y \\[2mm] \tan y=&\,\frac{\ln x}{2} \end{align*}

Using $\sec^2y=1+\tan^2y$ ,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} =&\,2x\left(1+\tan^2y\right) \\[2mm] =&\,2x\left(1+\left(\frac{\ln x}{2}\right)^2\right) \\[2mm] =&\,2x\left(\frac{4+(\ln x)^2}{4}\right) \\[2mm] =&\,\frac{x\left(4+(\ln x)^2\right)}{2} \end{align*}

Therefore

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac{1}{\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}} \\[4mm] =&\,\frac{2}{x\left(4+(\ln x)^2\right)} \end{align*}

Comparing this with

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{a}{x\left(b+(\ln x)^n\right)}

we have

\boxed{a=2,\qquad b=4,\qquad n=2}