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P4 2020 Oct Q2

A Level / Edexcel / P4

IAL 2020 Oct Paper · Question 2

题目

Problem

(a) Use the binomial expansion to expand

(4−5x)−12∣x∣<45(4-5x)^{-\frac{1}{2}}\qquad |x|<\frac{4}{5}

in ascending powers of xx, up to and including the term in x2x^2 giving each coefficient as a fully simplified fraction.

(4)
f(x)=2+kx4−5xf(x)=\frac{2+kx}{\sqrt{4-5x}}

where kk is a constant and ∣x∣<45|x|<\frac{4}{5}

Given that the series expansion of f(x)f(x), in ascending powers of xx, is

1+310x+mx2+⋯1+\frac{3}{10}x+mx^2+\cdots

where mm is a constant

(b) find the value of kk,

(2)

(c) find the value of mm.

(2)
题目中文翻译

(a) 使用二项展开式展开

(4−5x)−12∣x∣<45(4-5x)^{-\frac{1}{2}}\qquad |x|<\frac{4}{5}

按 xx 的升幂排列，保留到并包括 x2x^2 项，并将每个系数写成完全约分后的分数。

(4)
f(x)=2+kx4−5xf(x)=\frac{2+kx}{\sqrt{4-5x}}

其中 kk 为常数且 ∣x∣<45|x|<\frac{4}{5}

已知 f(x)f(x) 的展开式按 xx 的升幂排列为

1+310x+mx2+⋯1+\frac{3}{10}x+mx^2+\cdots

其中 mm 为常数

(b) 求 kk 的值。

(2)

(c) 求 mm 的值。

(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

先从括号中提出 44，把原式化为常数倍的 (1+u)−1/2(1+u)^{-1/2}，其中 u=−54xu=-\frac54x。再使用标准二项展开式，保留到 x2x^2 项，并把括号外的 12\frac12 乘入。

答题过程

展开

First,

 (4−5x)−1/2= 4−1/2(1−54x)−1/2= 12(1−54x)−1/2.\begin{align*} &\,(4-5x)^{-1/2}\\ =&\,4^{-1/2} \bigg(1-\frac54x\bigg)^{-1/2}\\ =&\,\frac12 \bigg(1-\frac54x\bigg)^{-1/2}. \end{align*}

Using the binomial expansion,

 (1−54x)−1/2= 1+(−12)(−54x) +(−12)(−32)2! ×(−54x)2 +⋯= 1+58x+75128x2 +⋯ .\begin{align*} &\,\bigg(1-\frac54x\bigg)^{-1/2}\\ =&\,1+\bigg(-\frac12\bigg) \bigg(-\frac54x\bigg)\\ &\,\hspace{2pt} +\frac{ \big(-\frac12\big) \big(-\frac32\big)}{2!} \\ &\,\hspace{4pt}\times\bigg(-\frac54x\bigg)^2\\ &\,\hspace{6pt}+\cdots\\ =&\,1+\frac58x+\frac{75}{128}x^2\\ &\,\hspace{2pt}+\cdots. \end{align*}

Therefore,

 (4−5x)−1/2= 12+516x+ 75256x2+⋯ .\begin{align*} &\,(4-5x)^{-1/2}\\ =&\,\frac12+\frac{5}{16}x\\ +&\,\frac{75}{256}x^2+\cdots. \end{align*}

This is valid for ∣54x∣<1\big|\frac54x\big|<1, or equivalently ∣x∣<45|x|<\frac45.

解法二

思路

展开

也可以直接围绕常数项 44 展开。把 4−5x4-5x 看成 4+h4+h，其中 h=−5xh=-5x，直接套用 (a+h)n(a+h)^n 的广义二项展开式，逐项计算到 h2h^2。

答题过程

展开

Using the direct expansion

 (a+h)n= an+nan−1h +n(n−1)2!an−2h2 +⋯ ,\begin{align*} &\,(a+h)^n\\ =&\,a^n+na^{n-1}h\\ &\,\hspace{2pt} +\frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}h^2\\ &\,\hspace{4pt}+\cdots, \end{align*}

take a=4a=4, h=−5xh=-5x and n=−12n=-\frac12. Then

 (4−5x)−1/2= 4−1/2 +(−12)4−3/2(−5x) +(−12)(−32)2! ×4−5/2(−5x)2 +⋯= 12+516x+ 75256x2+⋯ .\begin{align*} &\,(4-5x)^{-1/2}\\ =&\,4^{-1/2}\\ &\,\hspace{2pt} +\bigg(-\frac12\bigg)4^{-3/2}(-5x)\\ &\,\hspace{4pt} +\frac{ \big(-\frac12\big) \big(-\frac32\big)}{2!} \\ &\,\hspace{6pt}\times4^{-5/2}(-5x)^2\\ &\,\hspace{8pt}+\cdots\\ =&\,\frac12+\frac{5}{16}x\\ +&\,\frac{75}{256}x^2+\cdots. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

把 (a) 的展开式乘以 2+kx2+kx。只收集一次项：它来自 22 乘展开式的一次项，以及 kxkx 乘常数项。将所得系数与题目给出的 310\frac3{10} 比较即可求 kk。

答题过程

展开

Using part (a),

 f(x)= (2+kx) ×( 12+516x +75256x2+⋯).\begin{align*} &\,f(x)\\ =&\,(2+kx) \\ &\,\hspace{2pt}\times \left(\begin{aligned} &\,\frac12+\frac{5}{16}x\\ &\,\hspace{2pt} +\frac{75}{256}x^2+\cdots \end{aligned}\right). \end{align*}

The coefficient of xx is

58+k2.\frac58+\frac{k}{2}.

Comparing this with the given coefficient,

58+k2= 310,k2= −1340.\begin{align*} \frac58+\frac{k}{2} =&\,\frac3{10},\\ \frac{k}{2} =&\,-\frac{13}{40}. \end{align*}

Therefore,

k=−1320.\boxed{k=-\frac{13}{20}}.

(c)

解法一

思路

展开

二次项有两个来源：22 乘 (a) 的二次项，以及 kxkx 乘 (a) 的一次项。代入 (b) 求得的 kk，相加并约分即可得到 mm。

答题过程

展开

The coefficient of x2x^2 is

m= 2(75256)+ k(516)= 75128− 1320(516)= 75128−26128= 49128.\begin{align*} m =&\,2\bigg(\frac{75}{256}\bigg)\\ +&\,k\bigg(\frac{5}{16}\bigg)\\ =&\,\frac{75}{128}\\ -&\,\frac{13}{20}\bigg(\frac{5}{16}\bigg)\\ =&\,\frac{75}{128}-\frac{26}{128}\\ =&\,\boxed{\frac{49}{128}}. \end{align*}