题目

Problem

(a) Find

\int \frac{\ln x}{x^2}\,dx

(3)

Figure 3 shows a sketch of part of the curve with equation

y=\frac{3+2x+\ln x}{x^2}\qquad x>0.5

The finite region $R$ , shown shaded in Figure 3, is bounded by the curve, the line with equation $x=2$ , the $x$ -axis and the line with equation $x=4$

(b) Use the answer to part (a) to find the exact area of $R$ , writing your answer in simplest form.

(4)

题目中文翻译

(a) 求

\int \frac{\ln x}{x^2}\,dx

图 3 给出了曲线一部分的草图，其方程为

y=\frac{3+2x+\ln x}{x^2}\qquad x>0.5

图 3 中阴影所示的有限区域 $R$ 由该曲线、方程为 $x=2$ 的直线、 $x$ 轴以及方程为 $x=4$ 的直线围成。

(b) 利用第 (a) 问的答案求 $R$ 的精确面积，并将答案写成最简形式。

解答

(a)

解法一

思路

展开

使用分部积分：把 $\ln x$ 作为需要求导的部分，把 $x^{-2}$ 作为需要积分的部分。所得剩余积分仍是简单幂函数，最后补上积分常数。

答题过程

展开

Using integration by parts, let

\begin{align*} u =&\,\ln x,\\ \mathrm{d}v =&\,x^{-2}\,\mathrm{d}x. \end{align*}

Then

\begin{align*} \mathrm{d}u =&\,\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x,\\ v =&\,-x^{-1}. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} \int\frac{\ln x}{x^2}\,\mathrm{d}x =&\,-\frac{\ln x}{x} +\int x^{-2}\,\mathrm{d}x\\ =&\,-\frac{\ln x}{x}-\frac1x+c. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

承接 (a)，先把曲线方程拆成三个较简单的项。对含 $\ln x$ 的一项直接使用 (a) 的结果，再以 $2$ 和 $4$ 为上下限计算面积，最后用 $\ln4=2\ln2$ 化简。

答题过程

展开

First,

\frac{3+2x+\ln x}{x^2} =3x^{-2}+2x^{-1}+x^{-2}\ln x.

Using the result from part (a),

\begin{align*} G(x) =&\,-\frac4x+2\ln x\\ -&\,\frac{\ln x}{x}. \end{align*}

Therefore, an antiderivative of the curve is $G(x)$ , and

\begin{align*} \operatorname{Area}(R) =&\,\int_2^4 \frac{3+2x+\ln x}{x^2}\,\mathrm{d}x\\ =&\,\big[G(x)\big]_2^4. \end{align*}

Also,

\begin{align*} G(4) =&\,-1+2\ln4-\frac14\ln4,\\ G(2) =&\,-2+2\ln2-\frac12\ln2. \end{align*}

Hence,

\begin{align*} \operatorname{Area}(R) =&\,G(4)-G(2)\\ =&\,1+2\ln2. \end{align*}

Hence the exact area is

\boxed{1+2\ln2}.

IAL 2020 Oct Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程