CalcGospel 國際數學圖譜
返回

IAL 2020 Oct Q6

A Level / Edexcel / P4

IAL 2020 Oct Paper · Question 6

题目

Problem

A curve CC has equation

y=xsin⁡xx>0y>0y=x^{\sin x}\qquad x>0\qquad y>0

(a) Find, by firstly taking natural logarithms, an expression for dydx\dfrac{dy}{dx} in terms of xx and yy.

(5)

(b) Hence show that the xx coordinates of the stationary points of CC are solutions of the equation

tan⁡x+xln⁡x=0\tan x+x\ln x=0
(2)
题目中文翻译

曲线 CC 的方程为

y=xsin⁡xx>0y>0y=x^{\sin x}\qquad x>0\qquad y>0

(a) 先取自然对数，求 dydx\dfrac{dy}{dx} 的一个用 xx 和 yy 表示的表达式。

(b) 进而证明曲线 CC 的驻点的 xx 坐标满足方程

tan⁡x+xln⁡x=0\tan x+x\ln x=0

解答

(a)

解法一

思路

展开

按照题意先对等式两边取自然对数，把变量同时出现在底数与指数中的幂转化为乘积。然后关于 xx 求导：左边用链式法则，右边对 sin⁡xln⁡x\sin x\ln x 使用乘积法则，最后乘以 yy。

答题过程

展开

Taking natural logarithms,

ln⁡y=sin⁡xln⁡x.\ln y=\sin x\ln x.

Differentiating with respect to xx gives

1ydydx= sin⁡xx+ ln⁡xcos⁡x.\begin{align*} \frac{1}{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac{\sin x}{x}\\ +&\,\ln x\cos x. \end{align*}

Therefore,

dydx= ysin⁡xx+ yln⁡xcos⁡x= ysin⁡xx+yln⁡xcos⁡x.\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac{y\sin x}{x}\\ +&\,y\ln x\cos x\\ =&\,\boxed{ \frac{y\sin x}{x}+y\ln x\cos x }. \end{align*}

解法二

思路

展开

取自然对数得到 ln⁡y=sin⁡xln⁡x\ln y=\sin x\ln x 后，也可把原函数改写为指数形式 y=esin⁡xln⁡xy=e^{\sin x\ln x}。再使用复合函数求导，最后用 esin⁡xln⁡x=ye^{\sin x\ln x}=y 把答案改写成题目要求的 x,yx,y 形式。

答题过程

展开

From

ln⁡y=sin⁡xln⁡x,\ln y=\sin x\ln x,

we may write

y=esin⁡xln⁡x.y=e^{\sin x\ln x}.

Therefore,

dydx= esin⁡xln⁡xsin⁡xx+ esin⁡xln⁡xln⁡xcos⁡x= y(sin⁡xx+ln⁡xcos⁡x).\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,e^{\sin x\ln x}\frac{\sin x}{x}\\ +&\,e^{\sin x\ln x}\ln x\cos x\\ =&\,\boxed{ y\bigg(\frac{\sin x}{x}+\ln x\cos x\bigg) }. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

承接 (a) 的导数，在驻点令 dydx=0\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0。由于题设 y>0y>0，可以约去因子 yy。整理后再除以 cos⁡x\cos x，便得到指定方程；同时需要说明驻点处 cos⁡x\cos x 不可能为零。

答题过程

展开

At a stationary point,

dydx=0.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0.

Using the result from part (a), and noting that y>0y>0,

sin⁡xx+ln⁡xcos⁡x=0.\frac{\sin x}{x}+\ln x\cos x=0.

Multiplying by xx gives

sin⁡x+xln⁡xcos⁡x=0.\sin x+x\ln x\cos x=0.

If cos⁡x=0\cos x=0, then sin⁡x=±1\sin x=\pm1, so the last equation cannot hold. Hence cos⁡x≠0\cos x\ne0 at a stationary point, and division by cos⁡x\cos x gives

tan⁡x+xln⁡x=0,\boxed{\tan x+x\ln x=0},

as required.