相对于固定原点 $O$，直线 $l_1$ 和 $l_2$ 的方程分别为

其中 $\lambda$ 为标量参数

其中 $\mu$ 为标量参数

已知 $l_1$ 和 $l_2$ 交于点 $X$，

(a) 求 $X$ 的位置向量。

点 $P(10,-7,0)$ 在 $l_1$ 上。

点 $Q$ 在 $l_2$ 上。

已知 $\overrightarrow{PQ}$ 垂直于 $l_2$，

(b) 求 $Q$ 的坐标。

交点 $X$ 同时在两条直线上，所以对应的三个坐标相等。选取其中两个方程联立求出参数，再代回任一直线。题目要求的是位置向量，因此最后用列向量表示，而不是只写坐标。

At the point of intersection, equating the corresponding coordinates gives

From the second equation,

Substituting this into the third equation,

Thus $\lambda=-4$ and $\mu=-5$. Substituting $\lambda=-4$ into $l_1$,

先用参数 $\mu$ 表示 $l_2$ 上的一般点 $Q$，从而写出 $\overrightarrow{PQ}$。由于 $\overrightarrow{PQ}$ 垂直于 $l_2$，它与 $l_2$ 的方向向量点积为零，由此求出 $\mu$ 并得到 $Q$。

A general point $Q$ on $l_2$ has coordinates

Therefore,

The direction vector of $l_2$ is

Since $\overrightarrow{PQ}$ is perpendicular to $l_2$,

Thus

Substituting this into the coordinates of $Q$ gives

由 (a) 已知 $X$ 在 $l_2$ 上，而 $PQ\perp l_2$，所以三角形 $PQX$ 在 $Q$ 处为直角。用参数表示 $PQ^2$ 与 $QX^2$，再应用毕氏定理。所得另一个根对应退化情形 $Q=X$，并不满足原来的垂直条件，必须舍去。

From part (a), $X=(-8,5,6)$. Since $X$ and $Q$ lie on $l_2$ and $PQ\perp l_2$, triangle $PQX$ is right-angled at $Q$. Hence,

Now

Since $X$ corresponds to $\mu=-5$ on $l_2$,

Also,

Therefore,

Thus $\mu=-\frac27$ or $\mu=-5$. The value $\mu=-5$ gives $Q=X$, for which

so it does not satisfy the given perpendicular condition. Hence $\mu=-\frac27$, and therefore

$PQ$ 垂直于直线 $l_2$ 时，$Q$ 是直线上距离 $P$ 最近的点。因此可把 $PQ^2$ 写成 $\mu$ 的二次函数；最小化平方距离比直接最小化根式更简洁。

For a general point $Q$ on $l_2$,

At the nearest point to $P$, this squared distance is stationary. Therefore,

Since the coefficient of $\mu^2$ is positive, this stationary value is a minimum. Substituting $\mu=-\frac27$ into $l_2$ gives