图 3 给出了曲线 $C$ 的草图，其参数方程为

图 3 中阴影部分所示区域 $R$ 由曲线、$x$ 轴和 $y$ 轴围成。

(a) (i) 清楚写出你的过程，证明区域 $R$ 的面积为

(ii) 进而通过代数积分求出区域 $R$ 的精确面积。

(b) 证明曲线 $C$ 上所有点都满足 $y=\sqrt{ax+b}$，其中 $a,b$ 为待求常数。

曲线 $C$ 的方程为 $y=f(x)$，其中 $f$ 为函数

且 $a,b$ 为第 (b) 问求得的常数。

(c) 写出 $f$ 的值域。

区域 $R$ 位于第一象限。曲线从 $x=2$ 的 $t=0$ 走到 $x=0$ 的 $t=\frac{\pi}{4}$，而计算 $\int_0^2y\,\mathrm{d}x$ 时方向相反，因此参数积分的上下限是 $\frac{\pi}{4}$ 到 $0$。代入 $y$ 与 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ 后再反转上下限。

The curve meets the $x$-axis when $t=0$, where $x=2$, and it meets the $y$-axis when

On the given interval, this gives $t=\frac{\pi}{4}$. Also,

Therefore,

using $\sin2t=2\sin t\cos t$, as required.

承接 (a)(i)，被积函数中 $\cos t$ 是 $\sin t$ 的导数，因此可直接把积分看成 $\sin^3t$ 的导数，或令 $u=\sin t$。

Using the result from part (a)(i),

承接 (a)(i)，令 $u=\sin t$，则 $\mathrm{d}u=\cos t\,\mathrm{d}t$，积分就变成 $32u^2$ 的积分。把上下限也换成 $u=0$ 和 $u=\frac{\sqrt2}{2}$，积分后直接代入即可。

Using the integral obtained in part (a)(i), let

Then $\mathrm{d}u=\cos t\,\mathrm{d}t$. The limits become

Hence,

用 $\cos2t=1-2\sin^2t$ 联系两个参数方程，并分别代入 $\cos2t=x/2$、$\sin t=y/4$。整理出 $y^2$ 后，由题设参数范围可知 $y\geq0$，所以取正平方根。

Using $\cos2t=1-2\sin^2t$,

Therefore,

Since $0\leq t\leq\frac{\pi}{2}$, we have $y=4\sin t\geq0$. Hence,

Thus $a=-4$ and $b=8$.

直接把参数方程代入 $y^2=ax+b$，再用倍角公式把两边都写成 $\cos2t$ 的一次式。比较常数项与 $\cos2t$ 的系数即可求出 $a,b$。

Substituting $x=2\cos2t$ and $y=4\sin t$ into $y^2=ax+b$ gives

Since

we obtain

Comparing the constant terms and the coefficients of $\cos2t$ gives

and

As $y\geq0$ on the given parameter interval,

在 $-2\leq x\leq2$ 上，$8-4x$ 从 $16$ 减少到 $0$。平方根取非负值，因此函数的最小值为 $0$、最大值为 $4$。

From part (b),

At the endpoints,

and

Therefore, the range of $\mathrm{f}$ is