相对于固定原点 $O$，直线 $l$ 的方程为

其中 $\lambda$ 为标量参数

已知 $\overrightarrow{OA}$ 是与 $l$ 平行的单位向量，

(a) 求 $\overrightarrow{OA}$。

点 $X$ 在直线 $l$ 上。

已知 $X$ 是直线 $l$ 上距离原点最近的点，

(b) 求点 $X$ 的坐标。

点 $O$、$X$ 和 $A$ 构成三角形 $OXA$。

(c) 求三角形 $OXA$ 的精确面积。

直线的方向向量为 $(4,4,2)$。先求它的模，再用方向向量除以模，得到与直线同向的单位向量。

The magnitude of the direction vector of $l$ is

Therefore,

距离原点最近的点 $X$ 是原点到直线的垂足，所以 $\overrightarrow{OX}$ 与直线方向向量垂直。先用参数写出 $X$，再令点积为零求 $\lambda$。

A general point $X$ on $l$ has position vector

At the closest point, $OX$ is perpendicular to the direction vector of $l$. Hence,

Therefore,

Thus,

Substituting this value into the equation of $l$ gives

把 $OX^2$ 写成 $\lambda$ 的二次函数。距离最小时，距离平方也最小，因此对 $OX^2$ 关于 $\lambda$ 求导并令其为零。

For a general point $X$ on $l$,

At the minimum distance,

Hence,

Therefore,

and hence

最近点对应的 $\overrightarrow{OX}$ 与直线垂直，而 $\overrightarrow{OA}$ 平行于直线。因此三角形在 $O$ 处为直角，可以把 $OX^2+OA^2=AX^2$ 写成关于 $\lambda$ 的方程。分别展开两边后，二次项相消，便能求出参数。

From part (a), $A=\big(\frac23,\frac23,\frac13\big)$ and $OA=1$. For a general point $X$ on $l$,

Subtracting the coordinates of $A$ from those of $X$ gives

At the closest point, $OX$ is perpendicular to $OA$. By Pythagoras,

Thus,

Thus $12\lambda=18$, so $\lambda=\frac32$.

Substituting into the equation of $l$ gives

$\overrightarrow{OA}$ 平行于直线，而最近点对应的 $\overrightarrow{OX}$ 垂直于直线，所以三角形在 $O$ 处为直角。利用 $OA=1$ 和 $OX$ 的长度即可直接求面积。

Since $\overrightarrow{OA}$ is parallel to $l$ and $\overrightarrow{OX}$ is perpendicular to $l$,

Also, $OA=1$, and

Therefore,

也可以使用向量积。三角形面积等于 $\frac12\big|\overrightarrow{OX}\times\overrightarrow{OA}\big|$，因此先计算向量积，再求其模。

Using the vector product,

Therefore,

也可以用标量积先求三角形在 $X$ 处的夹角。配合边长 $OX$、$XA$ 与面积公式，同样可得精确面积。

At $X$, the two side vectors are

and

Their lengths are

and

Also,

Let $\theta=\angle OXA$. Then

Hence,

Therefore,