(a) 已知当 $x=0$ 时 $y=1$，求微分方程

的解，并将答案写成 $y^2=g(x)$ 的形式。

(b) 进而求方程为 $y^2=g(x)$ 的曲线的水平渐近线方程。

先把方程写成 $y^{-1/3}\,\mathrm{d}y=6xe^{-2x}\,\mathrm{d}x$。右侧需要分部积分；完成积分并代入初值后，先得到 $y^{2/3}$，最后两边立方以符合 $y^2=g(x)$ 的指定形式。

The differential equation may be written as

Separating the variables gives

Hence,

To evaluate the integral, use integration by parts with

Then

Therefore,

Thus,

Using $y=1$ when $x=0$,

so $C=3$. Therefore,

Cubing both sides gives the required form

承接 (a)，当 $x\to\infty$ 时，$e^{-2x}\to0$，而 $xe^{-2x}\to0$，所以 $y^2\to8$。结合题设 $y\geq0$，取正平方根得到水平渐近线。

As $x\to\infty$,

and

Therefore, from part (a),

Since $y\geq0$, it follows that $y\to\sqrt8=2\sqrt2$. Hence the horizontal asymptote is