已知 $k$ 是一个常数，并且

的二项展开式按 $x$ 的升幂排列，到 $x^3$ 项为止可写成

的形式。

(a) (i) 求 $k$ 的值；

(ii) 求常数 $A$ 和常数 $B$ 的值。

(b) 利用该展开式求 $\sqrt{1.15}$ 的近似值。

写出计算过程，并将答案保留到小数点后 6 位。

写出 $(1+kx)^{1/2}$ 的二项展开式，并把 $x$ 项系数与题目给出的 $\frac18$ 比较，即可求出 $k$。

Using the binomial expansion,

The coefficient of $x$ is therefore $\frac{k}{2}$. Comparing this with the given coefficient,

so

由二项展开式分别读出 $x^2$ 与 $x^3$ 的系数，再代入 (a)(i) 求得的 $k=\frac14$，即可得到 $A$ 和 $B$。

From the binomial expansion,

Using $k=\frac14$,

Also,

Hence,

要使 $1+kx=1.15$，代入 $k=\frac14$ 后可得 $x=0.6$。把这个值代入题目给出的关于 $x$ 的展开式，并使用 (a)(ii) 的 $A,B$，最后按要求保留六位小数。

Since $k=\frac14$, set

which gives $x=0.6$. Therefore, using the given expansion,

Thus, to 6 decimal places,

也可以保留以 $kx$ 为整体的标准二项展开式。因为 $1.15=1+0.15$，直接代入 $kx=0.15$，不必先求 $x$。

Using the expansion directly in powers of $kx$,

For $\sqrt{1.15}$, take $kx=0.15$. Since $|0.15|<1$, the expansion is valid. Hence,