题目

Problem

Use algebraic integration and the substitution $u=\sqrt{x}$ to find the exact value of

\int_1^4 \frac{10}{5x+2x\sqrt{x}}\,dx

Write your answer in the form $4\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)$ , where $a$ and $b$ are integers to be found.

(Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.)

(8)

题目中文翻译

使用代数积分，并令 $u=\sqrt{x}$ ，求下式的精确值：

\int_1^4 \frac{10}{5x+2x\sqrt{x}}\,dx

将答案写成 $4\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)$ 的形式，其中 $a,b$ 为待求整数。

（完全依赖计算器技术的解法不接受。）

解答

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按题意令 $u=\sqrt{x}$ ，把 $x$ 、 $\mathrm{d}x$ 和积分上下限全部改写为 $u$ 。所得有理式可拆成两个简单分式，积分后代入新上下限，再用对数运算法则整理成指定形式。

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Let

u=\sqrt{x}.

Then $x=u^2$ and $\mathrm{d}x=2u\,\mathrm{d}u$ . The limits become

x=1\Rightarrow u=1, \qquad x=4\Rightarrow u=2.

Therefore,

I=\int_1^4\frac{10}{5x+2x\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x.

Then

\begin{align*} I =&\,\int_1^2 \frac{10}{5u^2+2u^3}(2u)\,\mathrm{d}u\\ =&\,\int_1^2\frac{20}{u(5+2u)}\,\mathrm{d}u. \end{align*}

Using partial fractions,

\begin{align*} \frac{20}{u(5+2u)} =&\,\frac{4}{u}\\ -&\,\frac{8}{5+2u}. \end{align*}

Hence,

\begin{align*} I =&\,\left[4\ln u-4\ln(5+2u)\right]_1^2\\ =&\,4\ln2-4\ln9+4\ln7\\ =&\,\boxed{4\ln\left(\frac{14}{9}\right)}. \end{align*}

Thus $a=14$ and $b=9$ .