题目

Problem

A curve has equation

y^2=ye^{-2x}-3x

(a) Show that

\frac{dy}{dx}=\frac{2ye^{-2x}+3}{e^{-2x}-2y}

(4)

The curve crosses the $y$ -axis at the origin and at the point $P$ .

The tangent to the curve at the origin and the tangent to the curve at $P$ meet at the point $R$ .

(b) Find the coordinates of $R$ .

(5)

题目中文翻译

一条曲线的方程为

y^2=ye^{-2x}-3x

(a) 证明

\frac{dy}{dx}=\frac{2ye^{-2x}+3}{e^{-2x}-2y}

该曲线与 $y$ 轴相交于原点和点 $P$ 。

该曲线在原点处的切线和在点 $P$ 处的切线交于点 $R$ 。

(b) 求点 $R$ 的坐标。

解答

(a)

解法一

思路

展开

方程两边都含有 $y$ ，因此对 $x$ 作隐函数求导。对 $ye^{-2x}$ 使用乘积法则，再把所有含有 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 的项移到同一边并提取公因式。

答题过程

展开

Differentiating implicitly with respect to $x$ gives

\begin{align*} 2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,e^{-2x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\\ &\,\hspace{2pt}-2ye^{-2x}-3. \end{align*}

Hence,

\begin{align*} \left(e^{-2x}-2y\right)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,2ye^{-2x}+3,\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\boxed{\frac{2ye^{-2x}+3}{e^{-2x}-2y}}, \end{align*}

as required.

(b)

解法一

思路

展开

先令 $x=0$ 求出曲线与 $y$ 轴的两个交点，从而确定 $P$ 。然后把原点和 $P$ 的坐标分别代入 (a) 的导数公式，求出两条切线方程，最后联立求交点 $R$ 。

答题过程

展开

At the $y$ -axis, $x=0$ , so the equation of the curve becomes

y^2=y.

Thus $y=0$ or $y=1$ , and hence

P=(0,1).

At the origin,

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{3}{1}=3,

so the tangent is

y=3x.

At $P=(0,1)$ ,

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{2+3}{1-2}=-5,

so the tangent is

y-1=-5x,

or $y=1-5x$ . At their point of intersection,

3x=1-5x,

x=\frac18, \qquad y=\frac38.

Therefore,

\boxed{R=\left(\frac18,\frac38\right)}.

IAL 2021 June Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程