题目

Problem

Figure 3 shows a sketch of the curve $C$ with parametric equations

x=2\cos 2t \qquad y=4\sin t \qquad 0\leq t\leq \frac{\pi}{2}

The region $R$ , shown shaded in Figure 3, is bounded by the curve, the $x$ -axis and the $y$ -axis.

(a) (i) Show, making your working clear, that the area of $R$ =

\int_0^{\frac{\pi}{4}} 32\sin^2 t\cos t\,dt

(ii) Hence find, by algebraic integration, the exact value of the area of $R$ .

(6)

(b) Show that all points on $C$ satisfy $y=\sqrt{ax+b}$ , where $a$ and $b$ are constants to be found.

(3)

The curve $C$ has equation $y=f(x)$ where $f$ is the function

f(x)=\sqrt{ax+b}\qquad -2\leq x\leq 2

and $a$ and $b$ are the constants found in part (b).

(1)

题目中文翻译

图 3 给出了曲线 $C$ 的草图，其参数方程为

x=2\cos 2t \qquad y=4\sin t \qquad 0\leq t\leq \frac{\pi}{2}

图 3 中阴影部分所示区域 $R$ 由曲线、 $x$ 轴和 $y$ 轴围成。

(a) (i) 清楚写出你的过程，证明区域 $R$ 的面积为

\int_0^{\frac{\pi}{4}} 32\sin^2 t\cos t\,dt

(ii) 进而通过代数积分求出区域 $R$ 的精确面积。

(b) 证明曲线 $C$ 上所有点都满足 $y=\sqrt{ax+b}$ ，其中 $a,b$ 为待求常数。

曲线 $C$ 的方程为 $y=f(x)$ ，其中 $f$ 为函数

f(x)=\sqrt{ax+b}\qquad -2\leq x\leq 2

且 $a,b$ 为第 (b) 问求得的常数。

解答

(a)(i)

解法一

思路

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区域 $R$ 位于第一象限。曲线从 $x=2$ 的 $t=0$ 走到 $x=0$ 的 $t=\frac{\pi}{4}$ ，而计算 $\int_0^2y\,\mathrm{d}x$ 时方向相反，因此参数积分的上下限是 $\frac{\pi}{4}$ 到 $0$ 。代入 $y$ 与 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ 后再反转上下限。

答题过程

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The curve meets the $x$ -axis when $t=0$ , where $x=2$ , and it meets the $y$ -axis when

2\cos2t=0.

On the given interval, this gives $t=\frac{\pi}{4}$ . Also,

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-4\sin2t.

Therefore,

\begin{align*} \operatorname{Area}(R) =&\,\int_0^2 y\,\mathrm{d}x\\ =&\,\int_{\pi/4}^{0} y\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t\\ =&\,\int_{\pi/4}^{0} (4\sin t)(-4\sin2t)\,\mathrm{d}t\\ =&\,\int_0^{\pi/4} 16\sin t\sin2t\,\mathrm{d}t\\ =&\,\boxed{ \int_0^{\pi/4}32\sin^2t\cos t\,\mathrm{d}t }, \end{align*}

using $\sin2t=2\sin t\cos t$ , as required.

(a)(ii)

解法一

思路

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承接 (a)(i)，被积函数中 $\cos t$ 是 $\sin t$ 的导数，因此可直接把积分看成 $\sin^3t$ 的导数，或令 $u=\sin t$ 。

答题过程

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Using the result from part (a)(i),

\begin{align*} \operatorname{Area}(R) =&\,\int_0^{\pi/4} 32\sin^2t\cos t\,\mathrm{d}t\\ =&\,\bigg[\frac{32}{3}\sin^3t\bigg]_0^{\pi/4}\\ =&\,\frac{32}{3} \bigg(\frac{\sqrt2}{2}\bigg)^3\\ =&\,\boxed{\frac{8\sqrt2}{3}}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

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用 $\cos2t=1-2\sin^2t$ 联系两个参数方程，并分别代入 $\cos2t=x/2$ 、 $\sin t=y/4$ 。整理出 $y^2$ 后，由题设参数范围可知 $y\geq0$ ，所以取正平方根。

答题过程

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Using $\cos2t=1-2\sin^2t$ ,

\frac{x}{2} =1-2\bigg(\frac{y}{4}\bigg)^2.

Therefore,

\begin{align*} \frac{x}{2} =&\,1-\frac{y^2}{8},\\ y^2 =&\,8-4x. \end{align*}

Since $0\leq t\leq\frac{\pi}{2}$ , we have $y=4\sin t\geq0$ . Hence,

\boxed{y=\sqrt{8-4x}}.

Thus $a=-4$ and $b=8$ .

解法二

思路

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官方替代路线直接把参数方程代入 $y^2=ax+b$ ，再用倍角公式把两边都写成 $\cos2t$ 的一次式。比较常数项与 $\cos2t$ 的系数即可求出 $a,b$ 。

答题过程

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Substituting $x=2\cos2t$ and $y=4\sin t$ into $y^2=ax+b$ gives

16\sin^2t=2a\cos2t+b.

Since

\sin^2t=\frac{1-\cos2t}{2},

we obtain

8-8\cos2t=2a\cos2t+b.

Comparing the constant terms and the coefficients of $\cos2t$ gives

b=8

and

2a=-8 \quad\Longrightarrow\quad a=-4.

As $y\geq0$ on the given parameter interval,

\boxed{y=\sqrt{8-4x}}.

(c)

解法一

思路

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在 $-2\leq x\leq2$ 上， $8-4x$ 从 $16$ 减少到 $0$ 。平方根取非负值，因此函数的最小值为 $0$ 、最大值为 $4$ 。

答题过程

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From part (b),

\mathrm{f}(x)=\sqrt{8-4x}, \qquad -2\leq x\leq2.

At the endpoints,

\mathrm{f}(-2)=4

and

\mathrm{f}(2)=0.

Therefore, the range of $\mathrm{f}$ is

\boxed{0\leq\mathrm{f}(x)\leq4}.

IAL 2021 June Q6

题目

解答

(a)(i)

解法一

思路

答题过程

(a)(ii)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程