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IAL 2021 June Q7

A Level / Edexcel / P4

IAL 2021 June Paper · Question 7

题目

Problem

Relative to a fixed origin OO, the line ll has equation

r=(1−10−9)+λ(442)where λ is a scalar parameter\mathbf{r}= \begin{pmatrix} 1\\-10\\-9 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} 4\\4\\2 \end{pmatrix} \qquad \text{where }\lambda\text{ is a scalar parameter}

Given that OA→\overrightarrow{OA} is a unit vector parallel to ll,

(a) find OA→\overrightarrow{OA}

(2)

The point XX lies on ll.

Given that XX is the point on ll that is closest to the origin,

(b) find the coordinates of XX.

(5)

The points OO, XX and AA form the triangle OXAOXA.

(c) Find the exact area of triangle OXAOXA.

(3)
题目中文翻译

相对于固定原点 OO，直线 ll 的方程为

r=(1−10−9)+λ(442)其中 λ 为标量参数\mathbf{r}= \begin{pmatrix} 1\\-10\\-9 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} 4\\4\\2 \end{pmatrix} \qquad \text{其中 }\lambda\text{ 为标量参数}

已知 OA→\overrightarrow{OA} 是与 ll 平行的单位向量，

(a) 求 OA→\overrightarrow{OA}。

点 XX 在直线 ll 上。

已知 XX 是直线 ll 上距离原点最近的点，

(b) 求点 XX 的坐标。

点 OO、XX 和 AA 构成三角形 OXAOXA。

(c) 求三角形 OXAOXA 的精确面积。

解答

(a)

解法一

思路

展开

直线的方向向量为 (4,4,2)(4,4,2)。先求它的模，再用方向向量除以模，得到与直线同向的单位向量。

答题过程

展开

The magnitude of the direction vector of ll is

42+42+22=36=6.\sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6.

Therefore,

OA→= 16(442)= (232313).\begin{align*} \overrightarrow{OA} =&\,\frac16 \begin{pmatrix} 4\\4\\2 \end{pmatrix}\\ =&\,\boxed{ \begin{pmatrix} \frac23\\ \frac23\\ \frac13 \end{pmatrix} }. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

距离原点最近的点 XX 是原点到直线的垂足，所以 OX→\overrightarrow{OX} 与直线方向向量垂直。先用参数写出 XX，再令点积为零求 λ\lambda。

答题过程

展开

A general point XX on ll has position vector

OX→=(1+4λ−10+4λ−9+2λ).\overrightarrow{OX} =\begin{pmatrix} 1+4\lambda\\ -10+4\lambda\\ -9+2\lambda \end{pmatrix}.

At the closest point, OXOX is perpendicular to the direction vector of ll. Hence,

(1+4λ−10+4λ−9+2λ)⋅(442)=0.\begin{pmatrix} 1+4\lambda\\ -10+4\lambda\\ -9+2\lambda \end{pmatrix} \boldsymbol{\cdot} \begin{pmatrix} 4\\4\\2 \end{pmatrix} =0.

Therefore,

4(1+4λ)+ 4(−10+4λ)+ 2(−9+2λ)=0,36λ−54= 0.\begin{align*} 4(1+4\lambda) +&\,4(-10+4\lambda)\\ +&\,2(-9+2\lambda)=0,\\ 36\lambda-54=&\,0. \end{align*}

Thus,

λ=32.\lambda=\frac32.

Substituting this value into the equation of ll gives

X= (1+4(32),−10+4(32), −9+2(32))= (7,−4,−6).\begin{align*} X =&\,\bigg( 1+4\bigg(\frac32\bigg), -10+4\bigg(\frac32\bigg),\\ &\,\hspace{28pt}-9+2\bigg(\frac32\bigg) \bigg)\\ =&\,\boxed{(7,-4,-6)}. \end{align*}

解法二

思路

展开

官方替代路线把 OX2OX^2 写成 λ\lambda 的二次函数。距离最小时，距离平方也最小，因此对 OX2OX^2 关于 λ\lambda 求导并令其为零。

答题过程

展开

For a general point XX on ll,

OX2=(1+4λ)2+(−10+4λ)2+(−9+2λ)2.OX^2 =(1+4\lambda)^2 +(-10+4\lambda)^2 +(-9+2\lambda)^2.

At the minimum distance,

ddλ(OX2)=0.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}(OX^2)=0.

Hence,

8(1+4λ)+ 8(−10+4λ)+ 4(−9+2λ)=0,72λ−108= 0.\begin{align*} 8(1+4\lambda) +&\,8(-10+4\lambda)\\ +&\,4(-9+2\lambda)=0,\\ 72\lambda-108=&\,0. \end{align*}

Therefore,

λ=32,\lambda=\frac32,

and hence

X=(7,−4,−6).\boxed{X=(7,-4,-6)}.

(c)

解法一

思路

展开

OA→\overrightarrow{OA} 平行于直线，而最近点对应的 OX→\overrightarrow{OX} 垂直于直线，所以三角形在 OO 处为直角。利用 OA=1OA=1 和 OXOX 的长度即可直接求面积。

答题过程

展开

Since OA→\overrightarrow{OA} is parallel to ll and OX→\overrightarrow{OX} is perpendicular to ll,

OA→⊥OX→.\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{OX}.

Also, OA=1OA=1, and

OX= 72+(−4)2+(−6)2= 101.\begin{align*} OX =&\,\sqrt{7^2+(-4)^2+(-6)^2}\\ =&\,\sqrt{101}. \end{align*}

Therefore,

Area⁡(OXA)= 12(OA)(OX)= 1012.\begin{align*} \operatorname{Area}(OXA) =&\,\frac12(OA)(OX)\\ =&\,\boxed{\frac{\sqrt{101}}{2}}. \end{align*}

解法二

思路

展开

官方第一条替代路线使用向量积。三角形面积等于 12∣OX→×OA→∣\frac12\big|\overrightarrow{OX}\times\overrightarrow{OA}\big|，因此先计算向量积，再求其模。

答题过程

展开

Using the vector product,

OX→×OA→= ∣ijk7−4−6232313∣= 83i−193j+223k.\begin{align*} \overrightarrow{OX}\times\overrightarrow{OA} =&\, \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ 7&-4&-6\\ \frac23&\frac23&\frac13 \end{vmatrix}\\ =&\,\frac83\mathbf{i} -\frac{19}{3}\mathbf{j} +\frac{22}{3}\mathbf{k}. \end{align*}

Therefore,

Area⁡(OXA)= 12∣OX→×OA→∣= 12(83)2+(−193)2+(223)2= 12101= 1012.\begin{align*} \operatorname{Area}(OXA) =&\,\frac12 \big|\overrightarrow{OX}\times\overrightarrow{OA}\big|\\ =&\,\frac12\sqrt{ \bigg(\frac83\bigg)^2 +\bigg(-\frac{19}{3}\bigg)^2 +\bigg(\frac{22}{3}\bigg)^2 }\\ =&\,\frac12\sqrt{101}\\ =&\,\boxed{\frac{\sqrt{101}}{2}}. \end{align*}

解法三

思路

展开

官方第二条替代路线用标量积先求三角形在 XX 处的夹角。配合边长 OXOX、XAXA 与面积公式 12OX⋅XAsin⁡∠OXA\frac12OX\cdot XA\sin\angle OXA，同样可得精确面积。

答题过程

展开

At XX, the two side vectors are

XO→=(−746)\overrightarrow{XO} =\begin{pmatrix} -7\\4\\6 \end{pmatrix}

and

XA→=OA→−OX→=(−193143193).\overrightarrow{XA} =\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OX} =\begin{pmatrix} -\frac{19}{3}\\ \frac{14}{3}\\ \frac{19}{3} \end{pmatrix}.

Their lengths are

XO=101XO=\sqrt{101}

and

XA=192+142+1929=102.XA=\sqrt{ \frac{19^2+14^2+19^2}{9} }=\sqrt{102}.

Also,

XO→⋅XA→=101.\overrightarrow{XO}\boldsymbol{\cdot}\overrightarrow{XA} =101.

Let θ=∠OXA\theta=\angle OXA. Then

cos⁡θ= XO→⋅XA→(XO)(XA)= 101101102= 101102.\begin{align*} \cos\theta =&\,\frac{ \overrightarrow{XO}\boldsymbol{\cdot}\overrightarrow{XA} }{(XO)(XA)}\\ =&\,\frac{101}{\sqrt{101}\sqrt{102}}\\ =&\,\sqrt{\frac{101}{102}}. \end{align*}

Hence,

sin⁡θ=1−101102=1102.\sin\theta =\sqrt{1-\frac{101}{102}} =\frac{1}{\sqrt{102}}.

Therefore,

Area⁡(OXA)= 12(XO)(XA)sin⁡θ= 12(101)(102)(1102)= 1012.\begin{align*} \operatorname{Area}(OXA) =&\,\frac12(XO)(XA)\sin\theta\\ =&\,\frac12(\sqrt{101})(\sqrt{102}) \bigg(\frac{1}{\sqrt{102}}\bigg)\\ =&\,\boxed{\frac{\sqrt{101}}{2}}. \end{align*}