(i) 相对于固定原点 $O$，点 $A$、$B$ 和 $C$ 的位置向量分别为 $a,b,c$。

点 $A$、$B$ 和 $C$ 共线，且 $B$ 在线段 $AC$ 之间。

已知 $AB:AC=1:3$，证明

(ii) 已知 $n\in\mathbb{N}$，用反证法证明：如果 $n^2$ 是 3 的倍数，那么 $n$ 也是 3 的倍数。

因为 $AB:AC=1:3$ 且 $B$ 位于 $A,C$ 之间，所以 $BC=2AB$。分别用位置向量写出 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BC}$，再整理即可得到目标式。

Since $AB:AC=1:3$, we have

In vector form,

and

Therefore,

Hence,

as required.

反设 $n^2$ 是 3 的倍数，但 $n$ 不是。任何不是 3 的倍数的自然数都可写成 $3p+1$ 或 $3p+2$；分别平方后，结果除以 3 都余 1，与假设矛盾。

Assume, for a contradiction, that $n^2$ is a multiple of $3$ but $n$ is not a multiple of $3$.

Then, for some integer $p$, either

or

In the first case,

Thus $n^2$ leaves remainder $1$ when divided by $3$.

In the second case,

Again, $n^2$ leaves remainder $1$ when divided by $3$.

In neither case is $n^2$ a multiple of $3$, contradicting the assumption. Therefore,

官方资料也接受用模 3 算术表达同一个反证。若 $n$ 不是 3 的倍数，则它模 3 只能为 1 或 2；两种余数平方后都模 3 余 1。

Assume, for a contradiction, that

but

Then $n\equiv1\pmod3$ or $n\equiv2\pmod3$. However,

and

Thus $n^2\equiv1\pmod3$, contradicting $n^2\equiv0\pmod3$. Hence,