题目

Problem

The curve $C$ has equation

2x-4y^2+3x^2y=4x^2+8

The point $P(3,2)$ lies on $C$ .

Find the equation of the normal to $C$ at the point $P$ , writing your answer in the form $ax+by+c=0$ where $a$ , $b$ and $c$ are integers to be found.

(7)

题目中文翻译

曲线 $C$ 的方程为

2x-4y^2+3x^2y=4x^2+8

点 $P(3,2)$ 在曲线 $C$ 上。

求曲线 $C$ 在点 $P$ 处的法线方程，并将答案写成 $ax+by+c=0$ 的形式，其中 $a,b,c$ 为待求整数。

解答

解法一

思路

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对曲线方程两边关于 $x$ 作隐函数求导，其中 $y^2$ 使用链式法则， $x^2y$ 使用乘积法则。求出点 $P$ 处的切线斜率后，取负倒数得到法线斜率，再整理成整数系数形式。

答题过程

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Differentiating implicitly with respect to $x$ gives

\begin{align*} 2+6xy-&\,8y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\\ +&\,3x^2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =8x. \end{align*}

At $P(3,2)$ ,

\begin{align*} 2-&\,8(2)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\\ +&\,6(3)(2)\\ +&\,3(3^2)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =8(3). \end{align*}

Therefore,

11\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-14,

so the gradient of the tangent is $-\frac{14}{11}$ . Hence the gradient of the normal is

m_{\mathrm{normal}}=\frac{11}{14}.

Using the point-slope form, the normal is

y-2=\frac{11}{14}(x-3).

Multiplying by $14$ and rearranging gives

\boxed{11x-14y-5=0}.

IAL 2021 Oct Q1

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