(a) 某位学生尝试回答下列问题：

“用反证法证明：如果 $n^3$ 是偶数，那么 $n$ 是偶数”

其证明过程如下所示，其中第 5 行缺失。

补全这个证明，填入第 5 行。

(b) 进而用反证法证明 $\sqrt[3]{2}$ 是无理数。

把展开式中除常数 $1$ 外的各项提出公因数 $2$，便可把 $n^3$ 写成“偶数加 $1$”的形式，从而说明它是奇数并得到矛盾。

The missing line is

承接 (a)，反设 $\sqrt[3]{2}$ 是有理数，并写成最简分数 $p/q$。立方后先证明 $p^3$ 为偶数，因此 $p$ 为偶数；代入 $p=2m$ 后又能证明 $q^3$ 为偶数，因此 $q$ 也为偶数。这与 $p/q$ 已是最简分数矛盾。

Assume, for a contradiction, that $\sqrt[3]{2}$ is rational. Then there exist integers $p$ and $q$, with $q\neq0$, such that

where $p$ and $q$ have no common factor.

Cubing both sides gives

so

Thus $p^3$ is even. By the result in part (a), $p$ is even, so $p=2m$ for some integer $m$.

Substituting $p=2m$ into $p^3=2q^3$ gives

Hence,

Therefore $q^3$ is even, so part (a) implies that $q$ is also even.

Both $p$ and $q$ are therefore divisible by $2$, contradicting the assumption that $p/q$ is in its simplest form. Hence,