(a) 求常数 $A,B,C,D$ 的值。

曲线的方程为

利用第 (a) 问的答案，

(b) 求 $g'(x)$。

(c) 进而说明为什么对于 $g$ 的定义域内所有 $x$ 的值，都有 $g'(x)>3$。

先把等式两边同乘 $x(x+3)$，建立多项式恒等式。代入 $x=0$ 和 $x=-3$ 可直接求出 $C,D$，再比较 $x^3,x^2$ 的系数求出 $A,B$。

Multiplying the identity by $x(x+3)$ gives

Setting $x=0$ gives

Setting $x=-3$ gives

Expanding the right-hand side,

Comparing the coefficients of $x^3$ and $x^2$ gives

and

Therefore,

先用多项式除法取出线性商，直接得到 $A,B$。再把余式部分作部分分式分解，求出 $C,D$。

Dividing the numerator by $x(x+3)=x^2+3x$ gives

Hence,

Now let

Then

Setting $x=0$ gives $C=-2$, while setting $x=-3$ gives $D=2$. Therefore,

承接 (a)，先写出分解后的 $g(x)$，再逐项求导。常数项导数为零，而 $x^{-1}$ 求导后会产生负号。

From part (a),

Differentiating term by term gives

承接 (b)。定义域中 $x>0$，所以 $x+3>x>0$；分母较小的 $1/x^2$ 较大，因此导数中两项分式之差为正。

Since $x>0$,

Therefore,

so

It follows from part (b) that

for every $x$ in the domain of $g$.

也可以把 (b) 中两个分式合并。所得分母在 $x>0$ 时为正，分子也为正，因此 $g'(x)$ 是 $3$ 加上一个正数。

From part (b),

For $x>0$, both $2(6x+9)$ and $x^2(x+3)^2$ are positive. Hence,