图 1 给出了曲线 $C$ 的草图，其参数方程为

(a) 使用参数求导法求曲线 $C$ 在 $x=3$ 处的梯度。

曲线 $C$ 的方程为 $y=\mathrm{f}(x)$，其中 $\mathrm{f}$ 是二次函数。

(b) 求 $\mathrm{f}(x)$，并将其写成 $a(x+b)^2+c$ 的形式，其中 $a,b,c$ 为待求常数。

(c) 求 $\mathrm{f}$ 的值域。

分别对两个参数方程关于 $t$ 求导，再用 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}t}$。由 $x=3$ 先求出 $\tan t$，然后代入导数表达式。

Differentiating the parametric equations gives

and

Therefore,

When $x=3$,

Hence the gradient of $C$ at $x=3$ is

由两个参数方程分别表示 $\tan t$ 和 $\sec^2t$，再代入恒等式 $1+\tan^2t=\sec^2t$，即可消去参数并直接得到配方形式。

From the parametric equations,

and

Using $1+\tan^2t=\sec^2t$,

Therefore,

Thus $a=2$, $b=-5$ and $c=8$.

承接 (a)，把 $\tan t=\frac{x-5}{2}$ 代入参数导数，可得到只含 $x$ 的 $\mathrm{f}'(x)$。对它积分后，再用曲线上的点 $(3,16)$ 求积分常数。

From part (a),

Since $\tan t=\frac{x-5}{2}$,

Integrating gives

When $x=3$, we have $\tan t=-1$, so $\sec^2t=2$ and hence $y=16$. Therefore,

which gives $C=8$. Thus,

也可以用曲线上的三个点确定二次函数。选取参数值 $t=-\frac{\pi}{4},0,\frac{\pi}{4}$，得到三个坐标，再解 $\mathrm{f}(x)=Ax^2+Bx+C$ 的联立方程并配方。

Using $t=-\frac{\pi}{4}$, $0$ and $\frac{\pi}{4}$ gives the points

Let

Substituting the three points gives

Subtracting the first equation from the second, and the second from the third, gives

Hence $A=2$, $B=-20$ and $C=58$. Therefore,

Thus,

先由参数范围求出 $x$ 的范围。抛物线顶点 $x=5$ 位于该区间内，所以最小值是 $8$；再比较两个区间端点的函数值，确定最大值。

Since

and $\tan t$ is increasing on this interval,

Therefore,

The minimum of $\mathrm{f}(x)=2(x-5)^2+8$ occurs at $x=5$, giving

At the endpoints,

and

Hence the range of $\mathrm{f}$ is