题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying on calculator technology are not acceptable.

Figure 2 shows a sketch of the curve with equation

y=\frac{16\sin 2x}{(3+4\sin x)^2}\qquad 0\leq x\leq \frac{\pi}{2}

The region $R$ , shown shaded in Figure 2, is bounded by the curve, the $x$ -axis and the line with equation $x=\dfrac{\pi}{6}$

Using the substitution $u=3+4\sin x$ , show that the area of $R$ can be written in the form $a+\ln b$ , where $a$ and $b$ are rational constants to be found.

(7)

题目中文翻译

本题你必须写出所有计算步骤。

不接受依赖计算器技术的解法。

图 2 给出了曲线的草图，其方程为

y=\frac{16\sin 2x}{(3+4\sin x)^2}\qquad 0\leq x\leq \frac{\pi}{2}

图 2 中阴影部分所示区域 $R$ 由该曲线、 $x$ 轴以及直线 $x=\dfrac{\pi}{6}$ 围成。

使用代换 $u=3+4\sin x$ ，证明区域 $R$ 的面积可写成 $a+\ln b$ 的形式，其中 $a,b$ 为待求有理常数。

解答

解法一

思路

展开

区域位于 $x=\frac{\pi}{6}$ 与曲线在 $x=\frac{\pi}{2}$ 的零点之间。先用 $\sin2x=2\sin x\cos x$ 整理被积函数，再作题目指定的代换 $u=3+4\sin x$ ，同时把上下限由 $x$ 转换为 $u$ 。

答题过程

展开

The required area is

A=\int_{\pi/6}^{\pi/2} \frac{16\sin2x}{(3+4\sin x)^2} \,\mathrm{d}x.

Using $\sin2x=2\sin x\cos x$ ,

A=\int_{\pi/6}^{\pi/2} \frac{32\sin x\cos x}{(3+4\sin x)^2} \,\mathrm{d}x.

Let

u=3+4\sin x.

Then

\mathrm{d}u=4\cos x\,\mathrm{d}x

and

\sin x=\frac{u-3}{4}.

The limits become

\begin{array}{c|c} x & u=3+4\sin x\\ \hline \frac{\pi}{6} & 5\\ \frac{\pi}{2} & 7 \end{array}

Therefore,

\begin{align*} A =&\,\int_5^7 \frac{32\big(\frac{u-3}{4}\big)}{u^2} \cdot\frac14\,\mathrm{d}u\\ =&\,\int_5^7\frac{2(u-3)}{u^2}\,\mathrm{d}u\\ =&\,\int_5^7 \bigg(\frac2u-\frac6{u^2}\bigg)\,\mathrm{d}u\\ =&\,\bigg[2\ln u+\frac6u\bigg]_5^7\\ =&\,2\ln7+\frac67-2\ln5-\frac65\\ =&\,2\ln\bigg(\frac75\bigg)-\frac{12}{35}\\ =&\,\boxed{ -\frac{12}{35}+\ln\bigg(\frac{49}{25}\bigg) }. \end{align*}

Thus the area has the required form $a+\ln b$ , where

\boxed{ a=-\frac{12}{35}, \qquad b=\frac{49}{25} }.

IAL 2021 Oct Q6

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解答

解法一

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