题目

Problem

The curve $C$ has equation

\begin{align*} &\,xy^2=x^2y+6\\ &\,x\neq 0,\qquad y\neq 0 \end{align*}

Find an equation for the tangent to $C$ at the point $P(2,3)$ , giving your answer in the form $ax+by+c=0$ where $a$ , $b$ and $c$ are integers.

(6)

题目中文翻译

曲线 $C$ 的方程为

\begin{align*} &\,xy^2=x^2y+6\\ &\,x\neq 0,\qquad y\neq 0 \end{align*}

求曲线 $C$ 在点 $P(2,3)$ 处的切线方程，并将答案写成 $ax+by+c=0$ 的形式，其中 $a,b,c$ 为整数。

(6)

解答

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方程中 $x$ 和 $y$ 相乘，因此对两边关于 $x$ 作隐函数求导时，两处乘积都要使用乘积法则。求出点 $P$ 处的导数后，用点斜式写出切线方程，再整理成题目要求的整数系数形式。

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Differentiating implicitly with respect to $x$ gives

\begin{align*} &\,y^2+2xy\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\\ =&\,2xy+x^2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}. \end{align*}

Hence,

\big(2xy-x^2\big)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =2xy-y^2,

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{2xy-y^2}{2xy-x^2}.

At $P(2,3)$ ,

\begin{align*} \left.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{P} =&\,\frac{2(2)(3)-3^2}{2(2)(3)-2^2}\\ =&\,\frac{3}{8}. \end{align*}

Therefore, the tangent at $P$ is

y-3=\frac{3}{8}(x-2).

Multiplying by $8$ and rearranging gives

\boxed{3x-8y+18=0}.