题目

Problem

(a) Find, in ascending powers of $x$ , the first three non-zero terms of the binomial series expansion of

\begin{align*} &\,\sqrt[3]{1+4x^3}\\ &\,|x|<\frac{1}{\sqrt[3]{4}} \end{align*}

giving each coefficient as a simplified fraction.

(4)

(b) Use the expansion from part (a) with $x=\dfrac{1}{3}$ to find a rational approximation to $\sqrt[3]{31}$

(3)

题目中文翻译

(a) 求

\begin{align*} &\,\sqrt[3]{1+4x^3}\\ &\,|x|<\frac{1}{\sqrt[3]{4}} \end{align*}

的二项级数展开式中按 $x$ 的升幂排列的前三个非零项，并将每个系数写成最简分数。

(4)

(b) 利用第 (a) 问中的展开式，并取 $x=\dfrac{1}{3}$ ，求 $\sqrt[3]{31}$ 的一个有理近似值。

(3)

解答

展开

把表达式看成 $(1+u)^{1/3}$ ，其中 $u=4x^3$ 。使用二项展开的前三项，并注意 $u^2$ 会产生 $x^6$ 项。

展开

Using the binomial expansion,

\begin{align*} &\,(1+u)^n\\ =&\,1+nu\\ &\,\hspace{2pt}+\frac{n(n-1)}{2!}u^2+\cdots. \end{align*}

Taking $n=\frac13$ and $u=4x^3$ ,

\begin{align*} &\,\big(1+4x^3\big)^{1/3}\\ =&\,1+\frac13\big(4x^3\big)\\ &\,+\frac{\frac13\big(-\frac23\big)}{2} \big(4x^3\big)^2+\cdots\\ =&\,\boxed{1+\frac43x^3-\frac{16}{9}x^6+\cdots}. \end{align*}

展开

承接 (a)，令 $x=\frac13$ 。此时被开方数是 $\frac{31}{27}$ ，所以展开式近似的是 $\sqrt[3]{31}/3$ ；最后必须再乘以 $3$ ，并把结果化成最简分数。

展开

When $x=\frac13$ ,

\begin{align*} 1+4x^3=&\,1+4\bigg(\frac13\bigg)^3\\ =&\,\frac{31}{27}. \end{align*}

Therefore,

\sqrt[3]{1+4x^3} =\sqrt[3]{\frac{31}{27}} =\frac{\sqrt[3]{31}}{3}.

Using the expansion from part (a),

\begin{align*} \sqrt[3]{31} \approx&\,3\bigg[ 1+\frac43\bigg(\frac13\bigg)^3\\ &\,\hspace{18pt}-\frac{16}{9} \bigg(\frac13\bigg)^6 \bigg]\\ =&\,3\bigg(1+\frac{4}{81}-\frac{16}{6561}\bigg)\\ =&\,3\bigg(\frac{6869}{6561}\bigg)\\ =&\,\boxed{\frac{6869}{2187}}. \end{align*}