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P4 2022 Jan Q3

A Level / Edexcel / P4

IAL 2022 Jan Paper · Question 3

题目

Problem

The curve CC has parametric equations

x= 3+2sin⁡ty= 67+cos⁡2t −π2≤t≤π2\begin{align*} x=&\,3+2\sin t\\ y=&\,\frac{6}{7+\cos 2t}\\ &\,-\frac{\pi}{2}\leq t\leq \frac{\pi}{2} \end{align*}

(a) Show that CC has Cartesian equation

 y=12(7−x)(1+x) p≤x≤q\begin{align*} &\,y=\frac{12}{(7-x)(1+x)}\\ &\,p\leq x\leq q \end{align*}

where pp and qq are constants to be found.

(6)

(b) Hence, find a Cartesian equation for CC in the form

 y=ax+b+cx+d p≤x≤q\begin{align*} &\,y=\frac{a}{x+b}+\frac{c}{x+d}\\ &\,p\leq x\leq q \end{align*}

where aa, bb, cc and dd are constants.

(3)
题目中文翻译

曲线 CC 的参数方程为

x= 3+2sin⁡ty= 67+cos⁡2t −π2≤t≤π2\begin{align*} x=&\,3+2\sin t\\ y=&\,\frac{6}{7+\cos 2t}\\ &\,-\frac{\pi}{2}\leq t\leq \frac{\pi}{2} \end{align*}

(a) 证明曲线 CC 的直角坐标方程为

 y=12(7−x)(1+x) p≤x≤q\begin{align*} &\,y=\frac{12}{(7-x)(1+x)}\\ &\,p\leq x\leq q \end{align*}

其中 p,qp,q 为待求常数。

(6)

(b) 进而求曲线 CC 的一个直角坐标方程，并写成

 y=ax+b+cx+d p≤x≤q\begin{align*} &\,y=\frac{a}{x+b}+\frac{c}{x+d}\\ &\,p\leq x\leq q \end{align*}

的形式，其中 a,b,c,da,b,c,d 为常数。

(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

先由 x=3+2sin⁡tx=3+2\sin t 表示出 sin⁡t\sin t，再用 cos⁡2t=1−2sin⁡2t\cos2t=1-2\sin^2t 消去参数。最后把所得平方差因式分解，并由参数范围确定 xx 的范围。

答题过程

展开

Using

cos⁡2t=1−2sin⁡2t,\cos2t=1-2\sin^2t,

we have

y=68−2sin⁡2t.y=\frac{6}{8-2\sin^2t}.

Also,

sin⁡t=x−32.\sin t=\frac{x-3}{2}.

Therefore,

 y= 68−2(x−32)2= 1216−(x−3)2= 12(4−x+3)(4+x−3)= 12(7−x)(1+x).\begin{align*} &\,y\\ =&\,\frac{6}{8-2\big(\frac{x-3}{2}\big)^2}\\ =&\,\frac{12}{16-(x-3)^2}\\ =&\,\frac{12} {(4-x+3)(4+x-3)}\\ =&\,\frac{12}{(7-x)(1+x)}. \end{align*}

Since −π2≤t≤π2-\frac{\pi}{2}\leq t\leq\frac{\pi}{2}, we have −1≤sin⁡t≤1-1\leq\sin t\leq1. Hence,

1≤x=3+2sin⁡t≤5.1\leq x=3+2\sin t\leq5.

Thus,

 y=12(7−x)(1+x) 1≤x≤5.\begin{align*} &\,\boxed{y=\frac{12}{(7-x)(1+x)}}\\ &\,1\leq x\leq5. \end{align*}

so p=1p=1 and q=5q=5, as required.

解法二

思路

展开

先把 yy 的分母改写成关于 sin⁡t\sin t 的平方差，再利用 2sin⁡t=x−32\sin t=x-3，两个因式会直接变成 x+1x+1 和 7−x7-x。

答题过程

展开

Using cos⁡2t=1−2sin⁡2t\cos2t=1-2\sin^2t,

 y= 68−2sin⁡2t= 1216−4sin⁡2t= 12(4+2sin⁡t)(4−2sin⁡t).\begin{align*} &\,y\\ =&\,\frac{6}{8-2\sin^2t}\\ =&\,\frac{12}{16-4\sin^2t}\\ =&\,\frac{12} {(4+2\sin t)(4-2\sin t)}. \end{align*}

Since 2sin⁡t=x−32\sin t=x-3,

 y= 12(4+x−3)(4−x+3)= 12(1+x)(7−x).\begin{align*} &\,y\\ =&\,\frac{12} {(4+x-3)(4-x+3)}\\ =&\,\frac{12}{(1+x)(7-x)}. \end{align*}

Also, −1≤sin⁡t≤1-1\leq\sin t\leq1, so

1≤x=3+2sin⁡t≤5.1\leq x=3+2\sin t\leq5.

Hence,

 y=12(7−x)(1+x) 1≤x≤5.\begin{align*} &\,\boxed{y=\frac{12}{(7-x)(1+x)}}\\ &\,1\leq x\leq5. \end{align*}

解法三

思路

展开

从题目要求证明的直角坐标式出发，代入 x=3+2sin⁡tx=3+2\sin t。若能化回给定的参数方程，就证明两式等价；这种路线也要单独核对参数给出的 xx 范围。

答题过程

展开

Substituting x=3+2sin⁡tx=3+2\sin t into the proposed Cartesian expression gives

 12(7−x)(1+x)= 12(4−2sin⁡t)(4+2sin⁡t)= 1216−4sin⁡2t= 1216−2(1−cos⁡2t)= 1214+2cos⁡2t= 67+cos⁡2t= y.\begin{align*} &\,\frac{12}{(7-x)(1+x)}\\ =&\,\frac{12} {(4-2\sin t)(4+2\sin t)}\\ =&\,\frac{12}{16-4\sin^2t}\\ =&\,\frac{12} {16-2(1-\cos2t)}\\ =&\,\frac{12}{14+2\cos2t}\\ =&\,\frac{6}{7+\cos2t}\\ =&\,y. \end{align*}

Thus the proposed expression is equivalent to the given parametric equation. Moreover,

 −1≤sin⁡t≤1 ⟹1≤x≤5.\begin{align*} &\,-1\leq\sin t\leq1\\ &\,\Longrightarrow\quad 1\leq x\leq5. \end{align*}

Therefore,

 y=12(7−x)(1+x) 1≤x≤5.\begin{align*} &\,\boxed{y=\frac{12}{(7-x)(1+x)}}\\ &\,1\leq x\leq5. \end{align*}

解法四

思路

展开

分别由两个参数方程表示 cos⁡2t\cos2t 和 sin⁡t\sin t，再代入倍角公式。这样可先得到 x,yx,y 之间的关系，随后整理为目标式。

答题过程

展开

From the parametric equations,

cos⁡2t=6y−7\cos2t=\frac{6}{y}-7

and

sin⁡t=x−32.\sin t=\frac{x-3}{2}.

Using cos⁡2t=1−2sin⁡2t\cos2t=1-2\sin^2t,

6y−7=1−2(x−32)2.\frac{6}{y}-7 =1-2\bigg(\frac{x-3}{2}\bigg)^2.

Hence,

 12y= 16−(x−3)2= (4−x+3)(4+x−3)= (7−x)(1+x).\begin{align*} &\,\frac{12}{y}\\ =&\,16-(x-3)^2\\ =&\,(4-x+3)(4+x-3)\\ =&\,(7-x)(1+x). \end{align*}

Therefore,

y=12(7−x)(1+x).y=\frac{12}{(7-x)(1+x)}.

As −1≤sin⁡t≤1-1\leq\sin t\leq1,

1≤x=3+2sin⁡t≤5.1\leq x=3+2\sin t\leq5.

Thus,

 y=12(7−x)(1+x) 1≤x≤5.\begin{align*} &\,\boxed{y=\frac{12}{(7-x)(1+x)}}\\ &\,1\leq x\leq5. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

承接 (a)，先把 7−x7-x 改写成 −(x−7)-(x-7)，使两个分母都符合 x+x+ 常数的形式，再作部分分式分解。定义域沿用 (a) 的 1≤x≤51\leq x\leq5。

答题过程

展开

From part (a),

y=−12(x−7)(x+1).y=-\frac{12}{(x-7)(x+1)}.

Let

 −12(x−7)(x+1)= Ax+1+Bx−7.\begin{align*} &\,-\frac{12}{(x-7)(x+1)}\\ =&\,\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-7}. \end{align*}

Then

−12= A(x−7) +B(x+1).\begin{align*} -12=&\,A(x-7)\\ &\,\hspace{2pt}+B(x+1). \end{align*}

Setting x=−1x=-1 gives

−12= −8AA= 32.\begin{align*} -12=&\,-8A\\ A=&\,\frac32. \end{align*}

Setting x=7x=7 gives

−12= 8BB= −32.\begin{align*} -12=&\,8B\\ B=&\,-\frac32. \end{align*}

Hence the required Cartesian equation is

 y=32(x+1)−32(x−7) 1≤x≤5.\begin{align*} &\,\boxed{y=\frac{3}{2(x+1)}-\frac{3}{2(x-7)}}\\ &\,1\leq x\leq5. \end{align*}