题目

Problem

A regular icosahedron of side length $x$ cm, shown in Figure 1, is expanding uniformly.

The icosahedron consists of 20 congruent equilateral triangular faces of side length $x$ cm.

(a) Show that the surface area, $A$ cm $^2$ , of the icosahedron is given by

A=5\sqrt{3}x^2

(2)

Given that the volume, $V$ cm $^3$ , of the icosahedron is given by

V=\frac{5}{12}\big(3+\sqrt{5}\big)x^3

(b) show that

\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}A}=\frac{(3+\sqrt{5})x}{8\sqrt{3}}

(3)

The surface area of the icosahedron is increasing at a constant rate of $0.025$ cm $^2$ s $^{-1}$

(3)

题目中文翻译

图 1 所示为一个边长为 $x$ cm 的正二十面体，它正在均匀地膨胀。

该正二十面体由 20 个全等的正三角形面组成，每个面的边长都是 $x$ cm。

(a) 证明该正二十面体的表面积 $A$ cm $^2$ 为

A=5\sqrt{3}x^2

(2)

已知该正二十面体的体积 $V$ cm $^3$ 为

V=\frac{5}{12}\big(3+\sqrt{5}\big)x^3

(b) 证明

\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}A}=\frac{(3+\sqrt{5})x}{8\sqrt{3}}

(3)

该正二十面体的表面积正以恒定速率 $0.025$ cm $^2$ s $^{-1}$ 增加。

(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

每个面都是边长为 $x$ 的正三角形。先用 $\frac12ab\sin C$ 求一个面的面积，再乘以 $20$ 。

答题过程

展开

The area of one equilateral triangular face is

\begin{align*} \frac12x^2\sin60^\circ =&\,\frac12x^2\bigg(\frac{\sqrt3}{2}\bigg)\\ =&\,\frac{\sqrt3}{4}x^2. \end{align*}

Since the icosahedron has $20$ congruent faces,

\begin{align*} A =&\,20\bigg(\frac{\sqrt3}{4}x^2\bigg)\\ =&\,\boxed{5\sqrt3x^2}, \end{align*}

as required.

也可以先求正三角形的高 $h$ 。高平分底边，由勾股定理，

\begin{align*} h=&\,\sqrt{x^2-\bigg(\frac{x}{2}\bigg)^2}\\ =&\,\frac{\sqrt3}{2}x. \end{align*}

一个面的面积仍为

\begin{align*} \frac12xh=&\,\frac12x\bigg(\frac{\sqrt3}{2}x\bigg)\\ =&\,\frac{\sqrt3}{4}x^2. \end{align*}

将它乘以 $20$ ，同样得到 $A=5\sqrt3x^2$ 。

(b)

解法一

思路

展开

分别把表面积 $A$ 和体积 $V$ 关于边长 $x$ 求导，再使用 $\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}A}=\frac{\mathrm{d}V/\mathrm{d}x}{\mathrm{d}A/\mathrm{d}x}$ ，最后化简根式系数。

答题过程

展开

Differentiating with respect to $x$ gives

\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}x}=10\sqrt3x

and

\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x} =\frac54(3+\sqrt5)x^2.

Therefore,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}A} =&\, \frac{\mathrm{d}V/\mathrm{d}x} {\mathrm{d}A/\mathrm{d}x}\\ =&\,\frac{ \frac54(3+\sqrt5)x^2 }{10\sqrt3x}\\ =&\,\boxed{ \frac{(3+\sqrt5)x}{8\sqrt3} }, \end{align*}

as required.

解法二

思路

展开

由 (a) 把边长 $x$ 表示成表面积 $A$ 的函数，代入体积公式，使 $V$ 只含 $A$ 。直接关于 $A$ 求导后，再用 $\sqrt{A/(5\sqrt3)}=x$ 写回题目要求的形式；求导时要保留内层 $A/(5\sqrt3)$ 的导数。

答题过程

展开

Since $x>0$ , part (a) gives

x=\bigg(\frac{A}{5\sqrt3}\bigg)^{\frac12}.

Substituting into the volume formula,

V=\frac5{12}(3+\sqrt5) \bigg(\frac{A}{5\sqrt3}\bigg)^{\frac32}.

Differentiating with respect to $A$ ,

\begin{align*} &\,\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}A}\\ =&\,\frac5{12}(3+\sqrt5)\frac32\\ &\,\hspace{2pt}\times \bigg(\frac{A}{5\sqrt3}\bigg)^{\frac12} \frac1{5\sqrt3}\\ =&\,\frac{3+\sqrt5}{8\sqrt3} \bigg(\frac{A}{5\sqrt3}\bigg)^{\frac12}. \end{align*}

Using $\big(A/(5\sqrt3)\big)^{1/2}=x$ ,

\boxed{\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}A} =\frac{(3+\sqrt5)x}{8\sqrt3}},

as required.

(c)

解法一

思路

展开

承接 (b)，用链式法则 $\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}A}\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}$ 。代入已知表面积增长率及 $x=2$ ，再按要求取两位有效数字。

答题过程

展开

The surface area is increasing at the rate

\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} =0.025\mathrm{\ cm^2\,s^{-1}}.

Using the result from part (b),

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} =&\, \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}A} \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}\\ =&\,\frac{(3+\sqrt5)x}{8\sqrt3}(0.025). \end{align*}

When $x=2$ ,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} =&\,\frac{2(3+\sqrt5)}{8\sqrt3}(0.025)\\ =&\,0.01889\ldots \end{align*}

Therefore, to two significant figures,

\boxed{ \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} =0.019\mathrm{\ cm^3\,s^{-1}} }.

P4 2022 Jan Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程