题目

Problem

With respect to a fixed origin $O$ the points $A$ and $B$ have position vectors

\begin{pmatrix}6\\6\\2\end{pmatrix} \text{ and } \begin{pmatrix}6\\0\\7\end{pmatrix}

respectively.

The line $l_1$ passes through the points $A$ and $B$ .

(a) Write down an equation for $l_1$

Give your answer in the form $\mathbf{r}=\mathbf{p}+\lambda \mathbf{q}$ , where $\lambda$ is a scalar parameter.

(2)

The line $l_2$ has equation

\mathbf{r}=\begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix}+\mu \begin{pmatrix}1\\5\\9\end{pmatrix}

where $\mu$ is a scalar parameter.

(b) Show that $l_1$ and $l_2$ do not meet.

(4)

The point $C$ is on $l_2$ where $\mu=-1$

Give your answer in degrees to one decimal place.

(5)

题目中文翻译

以固定原点 $O$ 为参考，点 $A$ 和点 $B$ 的位置向量分别为

\begin{pmatrix}6\\6\\2\end{pmatrix} \text{ 和 } \begin{pmatrix}6\\0\\7\end{pmatrix}

直线 $l_1$ 经过点 $A$ 和点 $B$ 。

(a) 写出 $l_1$ 的方程。

将答案写成 $\mathbf{r}=\mathbf{p}+\lambda \mathbf{q}$ 的形式，其中 $\lambda$ 为标量参数。

直线 $l_2$ 的方程为

\mathbf{r}=\begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix}+\mu \begin{pmatrix}1\\5\\9\end{pmatrix}

其中 $\mu$ 为标量参数。

(b) 证明 $l_1$ 与 $l_2$ 不相交。

当 $\mu=-1$ 时，点 $C$ 在直线 $l_2$ 上。

答案用度数表示，并保留到 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

用点 $B$ 的位置向量减去点 $A$ 的位置向量，得到直线 $l_1$ 的方向向量；再以 $A$ 为固定点写出题目要求形式的向量方程。

答题过程

展开

The direction vector of $l_1$ is

\begin{align*} \overrightarrow{AB} =&\, \begin{pmatrix}6\\0\\7\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}6\\6\\2\end{pmatrix}\\ =&\, \begin{pmatrix}0\\-6\\5\end{pmatrix}. \end{align*}

Hence

\begin{align*} \mathbf{r} =&\,\begin{pmatrix}6\\6\\2\end{pmatrix}\\ &\,\hspace{2pt} +\lambda\begin{pmatrix}0\\-6\\5\end{pmatrix}. \end{align*}

where $\lambda$ is a scalar parameter.

(b)

解法一

思路

展开

假设两条直线相交，则同一组 $\lambda,\mu$ 必须同时满足三个坐标方程。先由第一式求出 $\mu$ ，再分别代入第二、第三式；所得 $\lambda$ 不一致，因此不存在交点。

答题过程

展开

If $l_1$ and $l_2$ meet, the corresponding components of their vector equations must be equal. Hence

\begin{align*} 6=&\,3+\mu,\\ 6-6\lambda=&\,1+5\mu,\\ 2+5\lambda=&\,4+9\mu. \end{align*}

The first equation gives $\mu=3$ .

The second equation then gives

\begin{align*} 6-6\lambda=&\,16\\ \lambda=&\,-\frac53, \end{align*}

whereas the third equation gives

\begin{align*} 2+5\lambda=&\,31\\ \lambda=&\,\frac{29}{5}. \end{align*}

These values of $\lambda$ are inconsistent. Therefore,

\boxed{l_1\text{ and }l_2\text{ do not meet}}.

(c)

解法一

思路

展开

先把 $\mu=-1$ 代入 $l_2$ 求出点 $C$ ，再求 $\overrightarrow{AC}$ 。用 $\overrightarrow{AC}$ 与 $l_2$ 的方向向量作点积；因为题目要求锐角，所以余弦取点积的绝对值。

答题过程

展开

When $\mu=-1$ ,

\begin{align*} \overrightarrow{OC} =&\, \begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}1\\5\\9\end{pmatrix}\\ =&\, \begin{pmatrix}2\\-4\\-5\end{pmatrix}. \end{align*}

Hence

\begin{align*} \overrightarrow{AC} =&\,\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\\ =&\, \begin{pmatrix}2\\-4\\-5\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}6\\6\\2\end{pmatrix}\\ =&\, \begin{pmatrix}-4\\-10\\-7\end{pmatrix}. \end{align*}

Let $\theta$ be the acute angle between $AC$ and $l_2$ . A direction vector of $l_2$ is

\mathbf{d}=\begin{pmatrix}1\\5\\9\end{pmatrix}.

Therefore,

\begin{align*} \cos\theta =&\, \frac{ \big|\overrightarrow{AC}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{d}\big| }{ \big|\overrightarrow{AC}\big|\,|\mathbf{d}| }\\ =&\, \frac{|-4-50-63|} {\sqrt{16+100+49}\sqrt{1+25+81}}\\ =&\,\frac{117}{\sqrt{165}\sqrt{107}}. \end{align*}

Hence

\begin{align*} \theta =&\,\cos^{-1}\bigg( \frac{117}{\sqrt{165}\sqrt{107}} \bigg)\\ =&\,28.3^\circ. \end{align*}

Therefore, to one decimal place, the required acute angle is

\boxed{28.3^\circ}.

IAL 2022 Jan Q8

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程