题目

Problem

The binomial expansion of

(3+kx)^{-2}\qquad |kx|<3

where $k$ is a non-zero constant, may be written in the form

A+Bx+Cx^2+Dx^3+\cdots

where $A,B,C$ and $D$ are constants.

(a) Find the value of $A$

(1)

Given that $C=3B$

(b) show that

k^2+6k=0

(3)

(ii) find the value of $D$

(3)

题目中文翻译

二项展开式

(3+kx)^{-2}\qquad |kx|<3

其中 $k$ 是一个非零常数，可写成

A+Bx+Cx^2+Dx^3+\cdots

的形式，其中 $A,B,C,D$ 为常数。

(a) 求 $A$ 的值。

已知 $C=3B$ ，

(b) 证明

k^2+6k=0

。

(i) 求 $k$ 的值；

(ii) 求 $D$ 的值。

解答

(a)

解法一

思路

展开

先从括号中提出 $3$ ，把原式写成 $\frac19(1+\frac{kx}{3})^{-2}$ 。展开式的常数项就是 $A$ 。

答题过程

展开

We have

(3+kx)^{-2} =\frac19\bigg(1+\frac{kx}{3}\bigg)^{-2}.

The constant term is therefore

\boxed{A=\frac19}.

(b)

解法一

思路

展开

使用二项式展开求出 $x$ 项与 $x^2$ 项的系数，即 $B$ 和 $C$ 。然后代入条件 $C=3B$ ，整理后自然得到题目要求的方程。

答题过程

展开

Using

(1+u)^{-2}=1-2u+3u^2-4u^3+\cdots,

with $u=\frac{kx}{3}$ gives

\begin{align*} (3+kx)^{-2} =&\,\frac19\bigg[ 1-2\bigg(\frac{kx}{3}\bigg) +3\bigg(\frac{kx}{3}\bigg)^2\\ &\,\hspace{2pt} -4\bigg(\frac{kx}{3}\bigg)^3+\cdots \bigg]. \end{align*}

Therefore,

B=-\frac{2k}{27}, \qquad C=\frac{k^2}{27}.

Given that $C=3B$ ,

\begin{align*} \frac{k^2}{27} =&\,3\bigg(-\frac{2k}{27}\bigg)\\ k^2=&\,-6k\\ k^2+6k=&\,0, \end{align*}

as required.

(c)(i)

解法一

思路

展开

承接 (b)，将所得二次方程因式分解。题目已说明 $k$ 非零，因此必须舍去零根。

答题过程

展开

From part (b),

\begin{align*} k^2+6k=&\,0\\ k(k+6)=&\,0. \end{align*}

Thus $k=0$ or $k=-6$ . Since $k$ is non-zero,

\boxed{k=-6}.

(c)(ii)

解法一

思路

展开

承接 (c)(i)，把 $k=-6$ 代入 (b) 中展开式的 $x^3$ 项。该项的系数就是 $D$ 。

答题过程

展开

The coefficient of $x^3$ is

D=\frac19(-4)\bigg(\frac{k}{3}\bigg)^3.

Using $k=-6$ ,

\begin{align*} D =&\,\frac19(-4)\bigg(\frac{-6}{3}\bigg)^3\\ =&\,\frac19(-4)(-8)\\ =&\,\boxed{\frac{32}{9}}. \end{align*}

IAL 2022 June Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)(i)

解法一

思路

答题过程

(c)(ii)

解法一

思路

答题过程