题目

Problem

(a) Express

\frac{1}{(1+3x)(1-x)}

in partial fractions.

(3)

(b) Hence find the solution of the differential equation

\begin{align*} &\,(1+3x)(1-x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\\ =&\,\tan y,\\ &\,-\frac13<x\le\frac12 \end{align*}

for which $x=\dfrac12$ when $y=\dfrac{\pi}{2}$

Give your answer in the form $\sin^n y=\mathrm{f}(x)$ where $n$ is an integer to be found.

(6)

题目中文翻译

(a) 将

\frac{1}{(1+3x)(1-x)}

写成部分分式。

(3)

(b) 进而求微分方程

\begin{align*} &\,(1+3x)(1-x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\\ =&\,\tan y,\\ &\,-\frac13<x\le\frac12 \end{align*}

的解，其中当 $y=\dfrac{\pi}{2}$ 时， $x=\dfrac12$ 。

将答案写成 $\sin^n y=\mathrm{f}(x)$ 的形式，其中 $n$ 是待求整数。

(6)

解答

(a)

解法一

思路

展开

设部分分式的两个常数分别为 $A,B$ 。通分后分别代入使其中一个一次因式为零的 $x$ 值，即可直接求出两个常数。

答题过程

展开

Let

\begin{align*} &\,\frac{1}{(1+3x)(1-x)}\\ =&\,\frac{A}{1+3x}+\frac{B}{1-x}. \end{align*}

Then

1=A(1-x)+B(1+3x).

Setting $x=-\frac13$ gives

1=\frac43A,

so $A=\frac34$ .

Setting $x=1$ gives

1=4B,

so $B=\frac14$ .

Therefore,

\begin{align*} &\,\frac{1}{(1+3x)(1-x)}\\ =&\,\frac{3}{4(1+3x)}+\frac{1}{4(1-x)}. \end{align*}

也可以比较恒等式两边的常数项与 $x$ 项：

\begin{align*} A+B=&\,1,\\ -A+3B=&\,0. \end{align*}

第二式给出 $A=3B$ ，代入第一式得到 $4B=1$ ，因此同样有 $B=\frac14$ 、 $A=\frac34$ 。

(b)

解法一

思路

展开

承接 (a) 的部分分式，将变量分离为 $\cot y\,\mathrm{d}y$ 与关于 $x$ 的积分。积分后代入给定条件求常数，再运用对数定律和指数关系整理成题目指定的 $\sin^n y=\mathrm{f}(x)$ 形式。

答题过程

展开

The differential equation can be separated as

\begin{align*} &\,\cot y\,\mathrm{d}y\\ =&\,\frac{1}{(1+3x)(1-x)}\,\mathrm{d}x. \end{align*}

Using the partial fractions from part (a),

\begin{align*} &\,\int\cot y\,\mathrm{d}y\\ =&\,\frac34\int\frac{1}{1+3x}\,\mathrm{d}x\\ &\,\hspace{2pt}+\frac14\int\frac{1}{1-x}\,\mathrm{d}x\\ =&\,\frac14\ln(1+3x)\\ &\,\hspace{2pt}-\frac14\ln(1-x)+C. \end{align*}

Hence $\ln|\sin y|$ equals the expression on the last two lines.

The given range $-\frac13<x\le\frac12$ ensures that both $1+3x$ and $1-x$ are positive.

Using $x=\frac12$ when $y=\frac{\pi}{2}$ ,

\begin{align*} &\,\ln\Big|\sin\frac{\pi}{2}\Big|=0,\\ 0=&\,\frac14\ln\frac52-\frac14\ln\frac12+C\\ 0=&\,\frac14\ln5+C. \end{align*}

Thus

C=-\frac14\ln5.

Therefore,

\begin{align*} &\,4\ln|\sin y|\\ =&\,\ln(1+3x)-\ln(1-x)\\ &\,\hspace{2pt}-\ln5\\ =&\,\ln\bigg( \frac{1+3x}{5(1-x)} \bigg). \end{align*}

Exponentiating both sides gives

|\sin y|^4=\frac{1+3x}{5(1-x)}.

Since $|\sin y|^4=\sin^4y$ , the required solution is

\boxed{ \sin^4y=\frac{1+3x}{5(1-x)} }.

This solution is valid for $-\frac13<x\le\frac12$ , and hence $n=4$ .

也可以直接把给定条件作为积分下限，令 $v$ 、 $s$ 为积分变量：

\begin{align*} &\,\int_{\pi/2}^{y}\cot v\,\mathrm{d}v\\ =&\,\frac34\int_{1/2}^{x}\frac{1}{1+3s}\,\mathrm{d}s\\ &\,\hspace{2pt}+\frac14\int_{1/2}^{x}\frac{1}{1-s}\,\mathrm{d}s. \end{align*}

代入上下限后，左边为 $\ln|\sin y|$ ，右边为

\frac14\ln\frac{1+3x}{1-x}-\frac14\ln5.

再乘以 $4$ 并取指数，即得到相同的解。

P4 2022 June Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程