题目

Problem

(a) Express

\frac{1}{(1+3x)(1-x)}

in partial fractions.

(3)

(b) Hence find the solution of the differential equation

(1+3x)(1-x)\frac{dy}{dx}=\tan y\qquad -\frac13<x\le \frac12

for which $x=\dfrac12$ when $y=\dfrac{\pi}{2}$

Give your answer in the form $\sin^n y=\mathrm{f}(x)$ where $n$ is an integer to be found.

(6)

题目中文翻译

(a) 将

\frac{1}{(1+3x)(1-x)}

写成部分分式。

(b) 进而求微分方程

(1+3x)(1-x)\frac{dy}{dx}=\tan y\qquad -\frac13<x\le \frac12

的解，其中当 $y=\dfrac{\pi}{2}$ 时， $x=\dfrac12$ 。

将答案写成 $\sin^n y=\mathrm{f}(x)$ 的形式，其中 $n$ 是待求整数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

设部分分式的两个常数分别为 $A,B$ 。通分后分别代入使其中一个一次因式为零的 $x$ 值，即可直接求出两个常数。

答题过程

展开

Let

\frac{1}{(1+3x)(1-x)} =\frac{A}{1+3x}+\frac{B}{1-x}.

Then

1=A(1-x)+B(1+3x).

Setting $x=-\frac13$ gives

1=\frac43A,

so $A=\frac34$ .

Setting $x=1$ gives

1=4B,

so $B=\frac14$ .

Therefore,

\boxed{ \frac{1}{(1+3x)(1-x)} =\frac{3}{4(1+3x)} +\frac{1}{4(1-x)} }.

(b)

解法一

思路

展开

承接 (a) 的部分分式，将变量分离为 $\cot y\,\mathrm{d}y$ 与关于 $x$ 的积分。积分后代入给定条件求常数，再运用对数定律和指数关系整理成题目指定的 $\sin^n y=\mathrm{f}(x)$ 形式。

答题过程

展开

The differential equation can be separated as

\cot y\,\mathrm{d}y =\frac{1}{(1+3x)(1-x)}\,\mathrm{d}x.

Using the partial fractions from part (a),

\begin{align*} \int\cot y\,\mathrm{d}y =&\,\int\bigg( \frac{3}{4(1+3x)} +\frac{1}{4(1-x)} \bigg)\,\mathrm{d}x\\ \ln|\sin y| =&\,\frac14\ln(1+3x) -\frac14\ln(1-x)+C. \end{align*}

The given range $-\frac13<x\le\frac12$ ensures that both $1+3x$ and $1-x$ are positive.

Using $x=\frac12$ when $y=\frac{\pi}{2}$ ,

\begin{align*} \ln\big|\sin\frac{\pi}{2}\big| =&\,\frac14\ln\bigg(1+\frac32\bigg) -\frac14\ln\bigg(1-\frac12\bigg)+C\\ 0=&\,\frac14\ln5+C. \end{align*}

Thus

C=-\frac14\ln5.

Therefore,

\begin{align*} 4\ln|\sin y| =&\,\ln(1+3x)-\ln(1-x)-\ln5\\ =&\,\ln\bigg( \frac{1+3x}{5(1-x)} \bigg). \end{align*}

Exponentiating both sides gives

|\sin y|^4=\frac{1+3x}{5(1-x)}.

Since $|\sin y|^4=\sin^4y$ , the required solution is

\boxed{ \sin^4y=\frac{1+3x}{5(1-x)} }.

This solution is valid for $-\frac13<x\le\frac12$ , and hence $n=4$ .

IAL 2022 June Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程