相对于固定原点 $O$，

• 点 $A$ 的位置向量为 $\mathbf{i}-4\mathbf{j}+3\mathbf{k}$
• 点 $B$ 的位置向量为 $5\mathbf{i}+3\mathbf{j}-2\mathbf{k}$
• 点 $C$ 的位置向量为 $3\mathbf{i}+p\mathbf{j}-\mathbf{k}$

其中 $p$ 为常数。

直线 $l$ 经过 $A$ 和 $B$。

(a) 求直线 $l$ 的一个向量方程。

已知 $\overrightarrow{AC}$ 垂直于 $l$，

(b) 求 $p$ 的值。

(c) 进而求三角形 $ABC$ 的面积，并将答案写成最简根式形式。

先用点 $B$ 的位置向量减去点 $A$ 的位置向量，得到直线的方向向量 $\overrightarrow{AB}$。再以 $A$ 为直线上的固定点写出向量方程。

The direction vector of $l$ is

Hence a vector equation of $l$ is

Here $\lambda\in\mathbb{R}$.

也可以取 $B$ 为固定点，使用相同方向向量写成

其中 $\mu\in\mathbb{R}$；令 $\lambda=1+\mu$，便与上式表示同一直线。

先求出 $\overrightarrow{AC}$。因为它与直线 $l$ 垂直，所以它与直线的方向向量 $\overrightarrow{AB}$ 的点积为零，由此建立关于 $p$ 的方程。

We have

Since $\overrightarrow{AC}$ is perpendicular to $l$,

Therefore,

Hence

承接 (b)，$\overrightarrow{AC}$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 垂直，所以三角形 $ABC$ 在 $A$ 点为直角。分别求出两条直角边的长度，再用 $\frac12\times\text{底}\times\text{高}$。

Using $p=-8$ from part (b),

Thus

and

Since $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{AC}$ are perpendicular, the area of triangle $ABC$ is

承接 (b) 的 $p=-8$，从 $B$ 出发求 $\overrightarrow{BA}$ 与 $\overrightarrow{BC}$。用点积求夹角 $\theta=\angle ABC$ 的余弦，再用 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ 求正弦，最后代入两边及其夹角的面积公式。

Using $p=-8$, the position of $C$ is $(3,-8,-1)$. Thus

Their scalar product is

Also,

Let $\theta=\angle ABC$. Then

Since $0<\theta<\pi$, we have $\sin\theta>0$, so

The area of triangle $ABC$ is therefore