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IAL 2022 June Q7

A Level / Edexcel / P4

IAL 2022 June Paper · Question 7

题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

The curve CC has parametric equations

x=sin⁡t−3cos⁡2ty=3sin⁡t+2cos⁡t0≤t≤5x=\sin t-3\cos^2 t\qquad y=3\sin t+2\cos t\qquad 0\le t\le 5

(a) Show that

dydx=3\frac{dy}{dx}=3

where t=πt=\pi

(4)

The point PP lies on CC where t=πt=\pi

(b) Find the equation of the tangent to the curve at PP in the form y=mx+cy=mx+c where mm and cc are constants to be found.

(3)

Given that the tangent to the curve at PP cuts CC at the point QQ

(c) show that the value of tt at point QQ satisfies the equation

9cos⁡2t+2cos⁡t−7=09\cos^2 t+2\cos t-7=0
(2)

(d) Hence find the exact value of the yy coordinate of QQ

(3)
题目中文翻译

本题中你必须写出解题过程的所有步骤。

完全依赖计算器技术的解法不被接受。

曲线 CC 的参数方程为

x=sin⁡t−3cos⁡2ty=3sin⁡t+2cos⁡t0≤t≤5x=\sin t-3\cos^2 t\qquad y=3\sin t+2\cos t\qquad 0\le t\le 5

(a) 证明当 t=πt=\pi 时，

dydx=3\frac{dy}{dx}=3

。

点 PP 在曲线 CC 上，且 t=πt=\pi。

(b) 求曲线在点 PP 处的切线方程，并将答案写成 y=mx+cy=mx+c 的形式，其中 m,cm,c 为待求常数。

已知曲线在点 PP 处的切线与 CC 再次相交于点 QQ，

(c) 证明点 QQ 处对应的 tt 值满足方程

9cos⁡2t+2cos⁡t−7=09\cos^2 t+2\cos t-7=0

。

(d) 进而求点 QQ 的 yy 坐标精确值。

解答

(a)

解法一

思路

展开

分别对两个参数方程关于 tt 求导，再利用 dydx=dy/dtdx/dt\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}t}。代入 t=πt=\pi 后即可得到所需斜率。

答题过程

展开

Differentiating with respect to tt gives

dxdt=cos⁡t+6cos⁡tsin⁡t\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} =\cos t+6\cos t\sin t

and

dydt=3cos⁡t−2sin⁡t.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} =3\cos t-2\sin t.

Therefore,

dydx= dy/dtdx/dt= 3cos⁡t−2sin⁡tcos⁡t+6cos⁡tsin⁡t.\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\, \frac{\mathrm{d}y/\mathrm{d}t} {\mathrm{d}x/\mathrm{d}t}\\ =&\, \frac{3\cos t-2\sin t} {\cos t+6\cos t\sin t}. \end{align*}

At t=πt=\pi,

dydx= 3cos⁡π−2sin⁡πcos⁡π+6cos⁡πsin⁡π= −3−1= 3.\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\, \frac{3\cos\pi-2\sin\pi} {\cos\pi+6\cos\pi\sin\pi}\\ =&\,\frac{-3}{-1}\\ =&\,\boxed{3}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

先将 t=πt=\pi 代入参数方程求出点 PP 的坐标，再结合 (a) 得到的斜率，使用直线的点斜式。

答题过程

展开

When t=πt=\pi,

x= sin⁡π−3cos⁡2π=−3,y= 3sin⁡π+2cos⁡π=−2.\begin{align*} x=&\,\sin\pi-3\cos^2\pi=-3,\\ y=&\,3\sin\pi+2\cos\pi=-2. \end{align*}

Thus P=(−3,−2)P=(-3,-2). Using the gradient from part (a), the tangent is

y−(−2)=3(x−(−3)).y-(-2)=3\big(x-(-3)\big).

Hence

y=3x+7.\boxed{y=3x+7}.

(c)

解法一

思路

展开

点 QQ 同时在参数曲线和 (b) 的切线上。将两个参数方程代入切线方程，含 sin⁡t\sin t 的项会抵消，整理后便得到题目所要求的余弦方程。

答题过程

展开

At an intersection of CC and the tangent,

y=3x+7.y=3x+7.

Substituting the parametric equations gives

3sin⁡t+2cos⁡t= 3(sin⁡t−3cos⁡2t)+7.\begin{align*} 3\sin t+2\cos t =&\,3\big(\sin t-3\cos^2t\big)+7. \end{align*}

Therefore,

3sin⁡t+2cos⁡t= 3sin⁡t−9cos⁡2t+79cos⁡2t+2cos⁡t−7= 0,\begin{align*} 3\sin t+2\cos t =&\,3\sin t-9\cos^2t+7\\ 9\cos^2t+2\cos t-7 =&\,0, \end{align*}

as required.

(d)

解法一

思路

展开

承接 (c)，把关于 cos⁡t\cos t 的二次式因式分解。其中 cos⁡t=−1\cos t=-1 对应已知交点 PP，所以点 QQ 对应 cos⁡t=79\cos t=\frac79。再由参数范围判断 sin⁡t\sin t 为正，并代入 yy 的参数方程。

答题过程

展开

From part (c),

9cos⁡2t+2cos⁡t−7= 0(9cos⁡t−7)(cos⁡t+1)= 0.\begin{align*} 9\cos^2t+2\cos t-7=&\,0\\ (9\cos t-7)(\cos t+1)=&\,0. \end{align*}

The solution cos⁡t=−1\cos t=-1 gives t=πt=\pi in the given range, which corresponds to PP. Hence, at the other intersection QQ,

cos⁡t=79.\cos t=\frac79.

The second solution

t=2π−cos⁡−1(79)t=2\pi-\cos^{-1}\bigg(\frac79\bigg)

is greater than 55. Therefore, within 0≤t≤50\le t\le5, the admissible solution lies in the first quadrant, so sin⁡t>0\sin t>0. Thus

sin⁡t=1−4981=429.\sin t =\sqrt{1-\frac{49}{81}} =\frac{4\sqrt2}{9}.

Therefore, the yy coordinate of QQ is

y= 3sin⁡t+2cos⁡t= 3(429)+2(79)= 423+149.\begin{align*} y =&\,3\sin t+2\cos t\\ =&\,3\bigg(\frac{4\sqrt2}{9}\bigg) +2\bigg(\frac79\bigg)\\ =&\,\boxed{\frac{4\sqrt2}{3}+\frac{14}{9}}. \end{align*}