题目

Problem

A curve $C$ has parametric equations

\begin{align*} x=&\,\frac{t}{t-3},\\ y=&\,\frac{1}{t}+2,\\ &\,t\in\mathbb{R},\quad t>3. \end{align*}

Show that all points on $C$ lie on the curve with Cartesian equation

y=\frac{ax-1}{bx}

where $a$ and $b$ are constants to be found.

(3)

题目中文翻译

曲线 $C$ 的参数方程为

\begin{align*} x=&\,\frac{t}{t-3},\\ y=&\,\frac{1}{t}+2,\\ &\,t\in\mathbb{R},\quad t>3. \end{align*}

证明 $C$ 上所有点都在直角坐标方程

y=\frac{ax-1}{bx}

所表示的曲线上，其中 $a,b$ 为待求常数。

(3)

解答

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先由 $x=\frac{t}{t-3}$ 解出参数 $t$ ，再代入 $y=\frac1t+2$ 消去参数。最后将所得方程整理成题目指定的形式，便可确定 $a$ 和 $b$ 。

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From

x=\frac{t}{t-3},

we have

\begin{align*} x(t-3)=&\,t\\ xt-t=&\,3x\\ t(x-1)=&\,3x. \end{align*}

Therefore,

t=\frac{3x}{x-1}.

Substituting this into the equation for $y$ gives

\begin{align*} y =&\,\frac1t+2\\ =&\,\frac{x-1}{3x}+2\\ =&\,\frac{x-1+6x}{3x}\\ =&\,\frac{7x-1}{3x}. \end{align*}

Comparing this with

y=\frac{ax-1}{bx},

we obtain

\boxed{a=7,\qquad b=3}.

也可以先由 $y$ 解出 $t$ ，再代入参数式消去参数。

\begin{align*} t=&\,\frac{1}{y-2},\\ \frac1x=&\,1-\frac3t\\ =&\,1-3(y-2)\\ =&\,7-3y. \end{align*}

于是 $3xy=7x-1$ ，仍得到 $y=\frac{7x-1}{3x}$ 。

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把两条参数方程代入题目指定的 $\frac{ax-1}{bx}$ 。化简后比较常数项及 $\frac1t$ 的系数，求出 $a,b$ ，最后明确写出直角坐标方程。

展开

Substituting $x=\frac{t}{t-3}$ gives

\begin{align*} ax-1=&\,\frac{at-(t-3)}{t-3}\\ =&\,\frac{(a-1)t+3}{t-3},\\ bx=&\,\frac{bt}{t-3}. \end{align*}

Hence

\begin{align*} \frac{ax-1}{bx} =&\,\frac{(a-1)t+3}{bt}\\ =&\,\frac{a-1}{b}+\frac3{bt}. \end{align*}

For this to equal $y=2+\frac1t$ for all the given values of $t$ , we require

\frac{a-1}{b}=2, \qquad \frac3b=1.

Therefore $b=3$ and $a=7$ . Thus all points on $C$ satisfy

\boxed{y=\frac{7x-1}{3x}}.