题目

Problem

A curve $C$ has parametric equations

x=\frac{t}{t-3}\qquad y=\frac{1}{t}+2\qquad t\in\mathbb{R}\qquad t>3

Show that all points on $C$ lie on the curve with Cartesian equation

y=\frac{ax-1}{bx}

where $a$ and $b$ are constants to be found.

(3)

题目中文翻译

曲线 $C$ 的参数方程为

x=\frac{t}{t-3}\qquad y=\frac{1}{t}+2\qquad t\in\mathbb{R}\qquad t>3

证明 $C$ 上所有点都在直角坐标方程

y=\frac{ax-1}{bx}

所表示的曲线上，其中 $a,b$ 为待求常数。

解答

展开

先由 $x=\frac{t}{t-3}$ 解出参数 $t$ ，再代入 $y=\frac1t+2$ 消去参数。最后将所得方程整理成题目指定的形式，便可确定 $a$ 和 $b$ 。

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From

x=\frac{t}{t-3},

we have

\begin{align*} x(t-3)=&\,t\\ xt-t=&\,3x\\ t(x-1)=&\,3x. \end{align*}

Therefore,

t=\frac{3x}{x-1}.

Substituting this into the equation for $y$ gives

\begin{align*} y =&\,\frac1t+2\\ =&\,\frac{x-1}{3x}+2\\ =&\,\frac{x-1+6x}{3x}\\ =&\,\frac{7x-1}{3x}. \end{align*}

Comparing this with

y=\frac{ax-1}{bx},

we obtain

\boxed{a=7,\qquad b=3}.