一个半径为 $12$ cm 的球形冰球被放入一桶水中。

在该情境的模型中：

• 冰球融化时始终保持球形
• 冰球放入桶中后 $t$ 分钟时，它的半径为 $r$ cm
• 冰球半径的减小速率与半径平方成反比
• $15$ 分钟后冰球半径为 $6$ cm

利用该模型和所给信息，

(a) 求联系 $r$ 与 $t$ 的方程；

(b) 求冰球完全融化所需的时间；

(c) 在第 27 页的 Diagram 1 上，画出 $r$ 关于 $t$ 的图像草图。

“半径的减小速率与半径平方成反比”表示 $\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=-\frac{k}{r^2}$，其中 $k>0$。分离变量并积分后，先用初始半径 $12$ 求积分常数，再用 $t=15$ 时 $r=6$ 求比例常数。

Since the radius is decreasing at a rate inversely proportional to $r^2$,

where $k>0$.

Separating the variables,

Integrating,

When $t=0$, $r=12$, so

When $t=15$, $r=6$, so

Therefore,

An equation linking $r$ and $t$ is

球的体积为 $V=\frac43\pi r^3$。用链式法则把体积变化率与半径变化率联系起来，$r^2$ 因子恰好约去，因此体积按常速减少。利用两个时刻的体积求出线性关系，再代回球体积公式，得到 $r$ 与 $t$ 的方程。

Let $V$ be the volume of the ball, in $\text{cm}^3$. Then

Since $\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=-\frac{k}{r^2}$ with $k>0$, the chain rule gives

Thus the volume decreases at a constant rate. Writing $\beta=4\pi k>0$ and integrating,

At $t=0$, $r=12$, so

At $t=15$, $r=6$, so

Therefore,

Hence

Substituting $V=\frac43\pi r^3$ gives

Dividing by $\frac43\pi$,

冰球完全融化时半径为 $0$。令 (a) 中的 $r=0$，即可求出对应时间，并按题目语境保留分钟单位。

When the ball has melted completely, $r=0$. Hence

Therefore,

Thus the time taken is

This is approximately $17.1$ minutes.

Using the volume equation from (a), complete melting also corresponds to $V=0$, so

由 (a) 可写成 $r=(1728-\frac{504}{5}t)^{1/3}$。图像从 $(0,12)$ 开始，在第一象限内下降；由于 $\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=-\frac{k}{r^2}$，随着 $r$ 变小，斜率的绝对值越来越大，所以曲线越来越陡，并在 $(\frac{120}{7},0)$ 结束。

The graph:

• starts at $(0,12)$;
• decreases entirely within the first quadrant;
• becomes progressively steeper as $r$ decreases;
• meets the $t$-axis at $\big(\frac{120}{7},0\big)$.