题目

Problem

Figure 4 shows a sketch of the closed curve with equation

(x+y)^3+10y^2=108x

(a) Show that

\frac{dy}{dx}=\frac{108-3(x+y)^2}{20y+3(x+y)^2}

(5)

The curve is used to model the shape of a cycle track with both $x$ and $y$ measured in km.

The points $P$ and $Q$ represent points that are furthest north and furthest south of the origin $O$ , as shown in Figure 4.

Using the result given in part (a),

(b) find how far the point $Q$ is south of $O$ . Give your answer to the nearest $100$ m.

(4)

题目中文翻译

图 4 给出了封闭曲线的示意图，其方程为

(x+y)^3+10y^2=108x

(a) 证明

\frac{dy}{dx}=\frac{108-3(x+y)^2}{20y+3(x+y)^2}

。

该曲线用来模拟一条自行车赛道的形状，其中 $x$ 和 $y$ 的单位都是 km。

如图 4 所示，点 $P$ 和点 $Q$ 分别表示相对于原点 $O$ 最北和最南的位置。

利用 (a) 中给出的结果，

(b) 求点 $Q$ 在 $O$ 的正南方多远。答案精确到最近的 $100$ m。

解答

(a)

解法一

思路

展开

对曲线方程关于 $x$ 隐式求导。 $(x+y)^3$ 要同时使用链式法则，并注意 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x+y)=1+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 。展开后收集所有含 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 的项，即可自然整理出目标式。

答题过程

展开

Differentiating

(x+y)^3+10y^2=108x

implicitly with respect to $x$ gives

3(x+y)^2 \bigg(1+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\bigg) +20y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =108.

Therefore,

\begin{align*} &\,3(x+y)^2 +3(x+y)^2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\\ &\,\hspace{2pt} +20y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =108,\\ \big[20y+3(x+y)^2\big] \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,108-3(x+y)^2. \end{align*}

Hence

\boxed{ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{108-3(x+y)^2} {20y+3(x+y)^2} }.

(b)

解法一

思路

展开

最北点和最南点的切线水平，所以令 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0$ ，即令 (a) 中分子为零，得到 $x+y=\pm6$ 。需要分别检查两个符号是否能在原曲线上产生实点；然后选取负的 $y$ 坐标，并把距离换算成题目要求的精度。

答题过程

展开

At the northernmost and southernmost points, the tangent is horizontal. Hence

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0,

\begin{align*} 108-3(x+y)^2=&\,0,\\ (x+y)^2=&\,36. \end{align*}

Thus

x+y=\pm6.

If $x+y=-6$ , then $x=-6-y$ . Substitution into the curve gives

5y^2+54y+216=0.

Its discriminant is

54^2-4(5)(216)=-1404<0,

so this case has no real points.

Therefore, $x+y=6$ , so $x=6-y$ . Substituting into the curve,

\begin{align*} 6^3+10y^2=&\,108(6-y),\\ 5y^2+54y-216=&\,0. \end{align*}

Solving,

\begin{align*} y =&\,\frac{-54\pm\sqrt{54^2+4(5)(216)}}{10}\\ =&\,\frac{-27\pm3\sqrt{201}}{5}. \end{align*}

The southernmost point has the negative value

y=\frac{-27-3\sqrt{201}}{5} =-13.906\ldots\text{ km}.

Therefore, $Q$ is, to the nearest $100$ m,

\boxed{13.9\text{ km}=13\,900\text{ m}}

south of $O$ .

IAL 2022 Oct Q11

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程