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P4 2022 Oct Q2

A Level / Edexcel / P4

IAL 2022 Oct Paper · Question 2

题目

Problem

(a) Express

3x(2x−1)(x−2)\frac{3x}{(2x-1)(x-2)}

in partial fraction form.

(3)

(b) Hence show that

 ∫5253x(2x−1)(x−2)  dx=ln⁡k\begin{align*} &\,\int_5^{25}\frac{3x}{(2x-1)(x-2)}\\ &\,\hspace{2pt}\,\mathrm{d}x=\ln k \end{align*}

where kk is a fully simplified fraction to be found.

(Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.)

(4)
题目中文翻译

(a) 将

3x(2x−1)(x−2)\frac{3x}{(2x-1)(x-2)}

写成部分分式形式。

(3)

(b) 进而证明

 ∫5253x(2x−1)(x−2)  dx=ln⁡k\begin{align*} &\,\int_5^{25}\frac{3x}{(2x-1)(x-2)}\\ &\,\hspace{2pt}\,\mathrm{d}x=\ln k \end{align*}

其中 kk 是待求的最简分数。

（完全依赖计算器技术的解法不被接受。）

(4)

解答

(a)

解法一

思路

展开

设部分分式中的两个常数分别为 A,BA,B。通分后比较恒等式，并分别代入使一个因式为零的 xx 值，即可快速求出两个常数。

答题过程

展开

Let

 3x(2x−1)(x−2)= A2x−1+Bx−2.\begin{align*} &\,\frac{3x}{(2x-1)(x-2)}\\ =&\,\frac{A}{2x-1}+\frac{B}{x-2}. \end{align*}

Then

 3x=A(x−2) +B(2x−1).\begin{align*} &\,3x=A(x-2)\\ &\,\hspace{2pt}+B(2x-1). \end{align*}

Setting x=2x=2 gives

6=3B,6=3B,

so B=2B=2.

Setting x=12x=\frac12 gives

32=−32A,\frac32=-\frac32A,

so A=−1A=-1.

Hence

 3x(2x−1)(x−2)= −12x−1+2x−2.\begin{align*} &\,\frac{3x}{(2x-1)(x-2)}\\ =&\,\boxed{-\frac1{2x-1}+\frac2{x-2}}. \end{align*}

也可以比较 xx 项系数和常数项，得到

A+2B= 3,−2A−B= 0.\begin{align*} A+2B=&\,3,\\ -2A-B=&\,0. \end{align*}

第二式给出 B=−2AB=-2A，代入第一式得到 −3A=3-3A=3，所以仍为 A=−1,B=2A=-1,B=2。两种求常数的方法使用同一个部分分式恒等式。

(b)

解法一

思路

展开

利用 (a) 的部分分式逐项积分，再代入上下限。最后用对数定律把各项合并成一个对数，并将其真数化为最简分数。

答题过程

展开

Let II denote the integral in part (b).

Using the result from part (a), integrate the two terms:

 ∫−12x−1 dx= −12ln⁡(2x−1),\begin{align*} &\,\int-\frac1{2x-1}\,\mathrm{d}x\\ =&\,-\frac12\ln(2x-1), \end{align*}

and

∫2x−2 dx=2ln⁡(x−2).\int\frac2{x-2}\,\mathrm{d}x=2\ln(x-2).

The logarithm arguments are positive for 5≤x≤255\le x\le25. An antiderivative on this interval is

F(x)= −12ln⁡(2x−1) +2ln⁡(x−2).\begin{align*} F(x)=&\,-\frac12\ln(2x-1)\\ &\,\hspace{2pt}+2\ln(x-2). \end{align*}

Evaluating at the limits,

F(25)= −12ln⁡49 +2ln⁡23,F(5)= −12ln⁡9 +2ln⁡3.\begin{align*} F(25)=&\,-\frac12\ln49\\ &\,\hspace{2pt}+2\ln23,\\ F(5)=&\,-\frac12\ln9\\ &\,\hspace{2pt}+2\ln3. \end{align*}

Therefore

I= F(25)−F(5)= −12ln⁡(499) +2ln⁡(233)= ln⁡(37)+ln⁡(5299)= ln⁡(52921).\begin{align*} I=&\,F(25)-F(5)\\ =&\,-\frac12\ln\bigg(\frac{49}{9}\bigg)\\ &\,\hspace{2pt}+2\ln\bigg(\frac{23}{3}\bigg)\\ =&\,\ln\bigg(\frac37\bigg) +\ln\bigg(\frac{529}{9}\bigg)\\ =&\,\ln\bigg(\frac{529}{21}\bigg). \end{align*}

Therefore,

k=52921.\boxed{k=\frac{529}{21}}.