CalcGospel 國際數學圖譜
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IAL 2022 Oct Q2

A Level / Edexcel / P4

IAL 2022 Oct Paper · Question 2

题目

Problem

(a) Express

3x(2x−1)(x−2)\frac{3x}{(2x-1)(x-2)}

in partial fraction form.

(3)

(b) Hence show that

∫5253x(2x−1)(x−2) dx=ln⁡k\int_5^{25}\frac{3x}{(2x-1)(x-2)}\,dx=\ln k

where kk is a fully simplified fraction to be found.

(Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.)

(4)
题目中文翻译

(a) 将

3x(2x−1)(x−2)\frac{3x}{(2x-1)(x-2)}

写成部分分式形式。

(b) 进而证明

∫5253x(2x−1)(x−2) dx=ln⁡k\int_5^{25}\frac{3x}{(2x-1)(x-2)}\,dx=\ln k

其中 kk 是待求的最简分数。

（完全依赖计算器技术的解法不被接受。）

解答

(a)

解法一

思路

展开

设部分分式中的两个常数分别为 A,BA,B。通分后比较恒等式，并分别代入使一个因式为零的 xx 值，即可快速求出两个常数。

答题过程

展开

Let

3x(2x−1)(x−2)=A2x−1+Bx−2.\frac{3x}{(2x-1)(x-2)} =\frac{A}{2x-1}+\frac{B}{x-2}.

Then

3x=A(x−2)+B(2x−1).3x=A(x-2)+B(2x-1).

Setting x=2x=2 gives

6=3B,6=3B,

so B=2B=2.

Setting x=12x=\frac12 gives

32=−32A,\frac32=-\frac32A,

so A=−1A=-1.

Hence

3x(2x−1)(x−2)=−12x−1+2x−2.\boxed{ \frac{3x}{(2x-1)(x-2)} =-\frac1{2x-1}+\frac2{x-2} }.

(b)

解法一

思路

展开

利用 (a) 的部分分式逐项积分，再代入上下限。最后用对数定律把各项合并成一个对数，并将其真数化为最简分数。

答题过程

展开

Using the result from part (a),

∫5253x(2x−1)(x−2) dx= [−12ln⁡(2x−1)+2ln⁡(x−2)]525= (−12ln⁡49+2ln⁡23) −(−12ln⁡9+2ln⁡3)= −12ln⁡(499)+2ln⁡(233)= ln⁡(37)+ln⁡(5299)= ln⁡(52921).\begin{align*} \int_5^{25} \frac{3x}{(2x-1)(x-2)}\,\mathrm{d}x =&\,\left[ -\frac12\ln(2x-1)+2\ln(x-2) \right]_5^{25}\\ =&\, \left(-\frac12\ln49+2\ln23\right)\\ &\, -\left(-\frac12\ln9+2\ln3\right)\\ =&\, -\frac12\ln\left(\frac{49}{9}\right) +2\ln\left(\frac{23}{3}\right)\\ =&\,\ln\left(\frac37\right) +\ln\left(\frac{529}{9}\right)\\ =&\,\ln\left(\frac{529}{21}\right). \end{align*}

Therefore,

k=52921.\boxed{k=\frac{529}{21}}.