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IAL 2022 Oct Q3

A Level / Edexcel / P4

IAL 2022 Oct Paper · Question 3

题目

Problem

Figure 1 shows a sketch of triangle PQRPQR.

Given that

  • PQ→=2i−3j+4k\overrightarrow{PQ}=2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+4\mathbf{k}
  • PR→=8i−5j+3k\overrightarrow{PR}=8\mathbf{i}-5\mathbf{j}+3\mathbf{k}

(a) Find RQ→\overrightarrow{RQ}

(2)

(b) Find the size of angle PQRPQR, in degrees, to three significant figures.

(3)
题目中文翻译

图 1 给出了三角形 PQRPQR 的示意图。

已知

  • PQ→=2i−3j+4k\overrightarrow{PQ}=2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+4\mathbf{k}
  • PR→=8i−5j+3k\overrightarrow{PR}=8\mathbf{i}-5\mathbf{j}+3\mathbf{k}

(a) 求 RQ→\overrightarrow{RQ}。

(b) 求角 PQRPQR 的大小（单位：度），结果精确到 3 位有效数字。

解答

(a)

解法一

思路

展开

由向量路径关系 PR→+RQ→=PQ→\overrightarrow{PR}+\overrightarrow{RQ}=\overrightarrow{PQ}，可得 RQ→=PQ→−PR→\overrightarrow{RQ}=\overrightarrow{PQ}-\overrightarrow{PR}，然后逐个分量相减。

答题过程

展开

Using

PR→+RQ→=PQ→,\overrightarrow{PR}+\overrightarrow{RQ} =\overrightarrow{PQ},

we have

RQ→= PQ→−PR→= (2i−3j+4k) −(8i−5j+3k)= −6i+2j+k.\begin{align*} \overrightarrow{RQ} =&\,\overrightarrow{PQ}-\overrightarrow{PR}\\ =&\,(2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+4\mathbf{k})\\ &\,\hspace{2pt} -(8\mathbf{i}-5\mathbf{j}+3\mathbf{k})\\ =&\,\boxed{-6\mathbf{i}+2\mathbf{j}+\mathbf{k}}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

角 PQRPQR 的顶点是 QQ，因此使用从 QQ 出发的向量 QP→\overrightarrow{QP} 和 QR→\overrightarrow{QR}。先把已知向量反向，再利用点积公式 a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡θ\mathbf{a}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta 求角。

答题过程

展开

The vectors from QQ are

QP→=−PQ→=−2i+3j−4k\overrightarrow{QP} =-\overrightarrow{PQ} =-2\mathbf{i}+3\mathbf{j}-4\mathbf{k}

and

QR→=−RQ→=6i−2j−k.\overrightarrow{QR} =-\overrightarrow{RQ} =6\mathbf{i}-2\mathbf{j}-\mathbf{k}.

Their scalar product is

QP→⋅QR→= (−2)(6)+(3)(−2)+(−4)(−1)= −14.\begin{align*} \overrightarrow{QP} \boldsymbol{\cdot}\overrightarrow{QR} =&\,(-2)(6)+(3)(-2)+(-4)(-1)\\ =&\,-14. \end{align*}

Also,

∣QP→∣=(−2)2+32+(−4)2=29\big|\overrightarrow{QP}\big| =\sqrt{(-2)^2+3^2+(-4)^2} =\sqrt{29}

and

∣QR→∣=62+(−2)2+(−1)2=41.\big|\overrightarrow{QR}\big| =\sqrt{6^2+(-2)^2+(-1)^2} =\sqrt{41}.

Therefore,

cos⁡∠PQR=−142941.\cos\angle PQR =\frac{-14}{\sqrt{29}\sqrt{41}}.

Hence

∠PQR= cos⁡−1(−142941)= 113.96…∘.\begin{align*} \angle PQR =&\,\cos^{-1}\bigg( \frac{-14}{\sqrt{29}\sqrt{41}} \bigg)\\ =&\,113.96\ldots^\circ. \end{align*}

To three significant figures,

∠PQR=114∘.\boxed{\angle PQR=114^\circ}.