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P4 2022 Oct Q3

A Level / Edexcel / P4

IAL 2022 Oct Paper · Question 3

题目

Problem

Figure 1 shows a sketch of triangle PQRPQR.

Given that

  • PQ→=2i−3j+4k\overrightarrow{PQ}=2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+4\mathbf{k}
  • PR→=8i−5j+3k\overrightarrow{PR}=8\mathbf{i}-5\mathbf{j}+3\mathbf{k}

(a) Find RQ→\overrightarrow{RQ}

(2)

(b) Find the size of angle PQRPQR, in degrees, to three significant figures.

(3)
题目中文翻译

图 1 给出了三角形 PQRPQR 的示意图。

已知

  • PQ→=2i−3j+4k\overrightarrow{PQ}=2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+4\mathbf{k}
  • PR→=8i−5j+3k\overrightarrow{PR}=8\mathbf{i}-5\mathbf{j}+3\mathbf{k}

(a) 求 RQ→\overrightarrow{RQ}。

(2)

(b) 求角 PQRPQR 的大小（单位：度），结果精确到 3 位有效数字。

(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

由向量路径关系 PR→+RQ→=PQ→\overrightarrow{PR}+\overrightarrow{RQ}=\overrightarrow{PQ}，可得 RQ→=PQ→−PR→\overrightarrow{RQ}=\overrightarrow{PQ}-\overrightarrow{PR}，然后逐个分量相减。

答题过程

展开

Using

PR→+RQ→=PQ→,\overrightarrow{PR}+\overrightarrow{RQ} =\overrightarrow{PQ},

we have

RQ→= PQ→−PR→= (2i−3j+4k) −(8i−5j+3k)= −6i+2j+k.\begin{align*} \overrightarrow{RQ} =&\,\overrightarrow{PQ}-\overrightarrow{PR}\\ =&\,\big(2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+4\mathbf{k}\big)\\ &\,\hspace{2pt} -\big(8\mathbf{i}-5\mathbf{j}+3\mathbf{k}\big)\\ =&\,\boxed{-6\mathbf{i}+2\mathbf{j}+\mathbf{k}}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

角 PQRPQR 的顶点是 QQ，因此使用从 QQ 出发的向量 QP→\overrightarrow{QP} 和 QR→\overrightarrow{QR}。先把已知向量反向，再利用点积公式 a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡θ\mathbf{a}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta 求角。

答题过程

展开

The vectors from QQ are

QP→= −PQ→= −2i+3j−4k\begin{align*} \overrightarrow{QP} =&\,-\overrightarrow{PQ}\\ =&\,-2\mathbf{i}+3\mathbf{j}-4\mathbf{k} \end{align*}

and

QR→= −RQ→= 6i−2j−k.\begin{align*} \overrightarrow{QR} =&\,-\overrightarrow{RQ}\\ =&\,6\mathbf{i}-2\mathbf{j}-\mathbf{k}. \end{align*}

Their scalar product is

 QP→⋅QR→= (−2)(6)+(3)(−2) +(−4)(−1)= −14.\begin{align*} &\,\overrightarrow{QP}\boldsymbol{\cdot}\overrightarrow{QR}\\ =&\,(-2)(6)+(3)(-2)\\ &\,\hspace{2pt}+(-4)(-1)\\ =&\,-14. \end{align*}

Also,

∣QP→∣2= (−2)2+32 +(−4)2= 29,\begin{align*} \big|\overrightarrow{QP}\big|^2 =&\,(-2)^2+3^2\\ &\,\hspace{2pt}+(-4)^2\\ =&\,29, \end{align*}

and

∣QR→∣2= 62+(−2)2 +(−1)2= 41.\begin{align*} \big|\overrightarrow{QR}\big|^2 =&\,6^2+(-2)^2\\ &\,\hspace{2pt}+(-1)^2\\ =&\,41. \end{align*}

Thus the lengths are 29\sqrt{29} and 41\sqrt{41}. Write θ=∠PQR\theta=\angle PQR. Therefore,

cos⁡θ=−142941.\cos\theta =\frac{-14}{\sqrt{29}\sqrt{41}}.

Hence

θ= cos⁡−1(−142941)= 113.954…∘.\begin{align*} \theta =&\,\cos^{-1}\bigg( \frac{-14}{\sqrt{29}\sqrt{41}} \bigg)\\ =&\,113.954\ldots^\circ. \end{align*}

To three significant figures,

∠PQR=114∘.\boxed{\angle PQR=114^\circ}.

这里将两个向量同时反向，也可以用 PQ→\overrightarrow{PQ} 和 RQ→\overrightarrow{RQ}：点积及模长乘积均不变，所以仍求出同一个角 PQRPQR。

解法二

思路

展开

先求三边长度，再用余弦定理。角 PQRPQR 的顶点是 QQ，其对边为 PRPR，因此余弦定理分子的减项必须是 PR2PR^2。

答题过程

展开

Using the given vectors and the result from part (a),

PQ2= 22+(−3)2+42= 29,QR2= (−6)2+22+12= 41,PR2= 82+(−5)2+32= 98.\begin{align*} PQ^2=&\,2^2+(-3)^2+4^2\\ =&\,29,\\ QR^2=&\,(-6)^2+2^2+1^2\\ =&\,41,\\ PR^2=&\,8^2+(-5)^2+3^2\\ =&\,98. \end{align*}

Let θ=∠PQR\theta=\angle PQR. By the cosine rule,

 PR2=PQ2+QR2 −2(PQ)(QR)cos⁡θ.\begin{align*} &\,PR^2=PQ^2+QR^2\\ &\,\hspace{2pt}-2(PQ)(QR)\cos\theta. \end{align*}

Hence

cos⁡θ= 29+41−9822941= −142941.\begin{align*} \cos\theta =&\,\frac{29+41-98}{2\sqrt{29}\sqrt{41}}\\ =&\,\frac{-14}{\sqrt{29}\sqrt{41}}. \end{align*}

Therefore

θ= cos⁡−1(−142941)= 113.954…∘.\begin{align*} \theta =&\,\cos^{-1}\bigg( \frac{-14}{\sqrt{29}\sqrt{41}} \bigg)\\ =&\,113.954\ldots^\circ. \end{align*}

To three significant figures,

∠PQR=114∘.\boxed{\angle PQR=114^\circ}.